Mathematik anwenden HUM 4, Schulbuch

8 Grenzwert einer Funktion Die folgenden stetigen Funktionen sind an der Stelle 0 nicht definiert: f: R \{0} ¥ R mit f(x) = ​ {  ​  x + 1 x ​  , wenn , wenn ​  x < 0 x > 0 ​ ​ g: R \{0} ¥ R mit g(x) = ​ {  ​ ‒ x + 2 x + 2 ​ , wenn x < 0 , wenn x > 0 ​ ​ ​ Ist es möglich, diese Funktionen zu stetigen Funktionen, die auf ganz R definiert sind, zu erweitern? Die Funktionswerte f(0) und g(0) müssten dann so gewählt werden, dass man die Graphen von f und g über dem Intervall (‒1; 1) „in einem Zug zeichnen“ kann. Oder anders formuliert: Der Funktionswert von f(x) bzw. g(x) müsste „beliebig nahe bei f(0) bzw. g(0) liegen“, wenn „x genügend nahe bei 0 ® iegt“. Aus dem Graphen von f und g ist ersichtlich, dass das nur für die Funktion g möglich ist (und g(0) muss 2 sein). Wir sagen dann, dass 2 der „Grenzwert von g(x), wenn sich x der Zahl 0 nähert“ ist und schreiben dafür ​ lim  x ¥ 0 ​g(x) = 2. Eine Zahl t heißt Grenzwert oder Limes der Funktion f an der Stelle a, wenn gilt: Zu jeder Zahl r > 0gibt es eine Zahl s > 0 so, dass aus † x – a † < s folgt, dass † f(x) – t † < r ist. In anderen Worten: „Wenn x nahe genug bei a ist, dann kommt der Funktionswert f(x) der Zahl t beliebig nahe.“ Wir schreiben dann ​  lim    x ¥ a ​f(x) = t . (Sprich: „Der Limes (oder Grenzwert) von f(x) für x gegen a ist t.“) Beachte: a muss nicht ein Element des Definitionsbereiches von f sein. Wenn aber f stetig und f(a) definiert ist, dann ist immer ​ lim    x ¥ a ​f(x) = f(a) . GeoGebra Grenzwert[ <Ausdruck > , <Wert> ] TI Nspire lim( Ausdr , Var , Stelle ) 8 Untersuche mithilfe des Funktionsgraphen, ob die Funktion an der gegebenen Stelle a einen Grenzwert hat oder nicht. a. a = 2 b. a = ‒1 c. a = 2 d. a = 0 x f(x) 0 4 2 2 4 2 2 4 f x g(x) 0 4 2 2 4 2 4 6 g Grenzwert einer Funktion an der Stelle a Grenzwert berechnen  ggb/tns 3cm3ye C : x y 0 2 4 2 4 2 4 2 4 x y 0 2 4 2 4 2 4 2 4 x y 0 2 4 2 4 2 4 2 4 x y 0 2 4 2 4 2 4 2 4 Differentialrechnung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv