Mathematik anwenden HUM 4, Schulbuch

73 Zusammenfassung Gegeben sind n Zahlenpaare (x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 ), …, (x n , y n ). Die Vorgangsweise, eine Funktion f eines vorgegebenen Typs so zu finden, dass ;  i = 1   n (f(x i ) – y i ) 2 minimal ist, heißt Methode der kleinsten Quadrate. Gegeben sind Zahlenpaare (x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 ), …, (x n , y n ) so, dass mindestens zwei der x i verschieden sind. Dann gibt es genau eine lineare Funktion f so, dass ;  i = 1   n (f(x i ) – y i ) 2 minimal ist. Diese Funktion heißt lineare Regressionsfunktion, ihr Graph heißt Regressionsgerade oder Trendlinie. Mit _ xbezeichnen wir im Folgenden den Mittelwert der Zahlen x 1 , x 2 , …, x n und mit _ yden Mittel wert der Zahlen y 1 , y 2 , …, y n . Der Korrelationskoeffizient (nach Pearson) ist die Zahl r =   ;    (x i – _ x)(y i – _ y) ___   9 ___ _ ;    (x i – _ x)²· 9 _ ___ ;    (y i – _ y)² . ‒1 ª r ª 1 Je näher der Betrag † r † bei 1 ist, desto näher liegen die Punkte (x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 ), …, (x n , y n ) an der Regressionsgeraden. Wenn † r † = 1 ist, liegen diese Punkte alle genau auf der Regressionsgeraden. r hat das gleiche Vorzeichen wie die Steigung der Regressionsgeraden. Für r > 0 spricht man von einer positiven Korrelation , für r < 0 von einer negativen Korrelation . Wenn † r † > 0,6 ist, nennt man (x 1 , x 2 , …, x n ) und (y 1 , y 2 , …, y n ) stark korreliert. Wenn † r † > 0,8 ist, nennt man (x 1 , x 2 , …, x n ) und (y 1 , y 2 , …, y n ) sehr stark korreliert. Gegeben sind Zahlenpaare (x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 ), …, (x n , y n ). Wenn mindestens drei der x i paarweise verschieden sind, dann gibt es genau eine quadratische Funktion f mit f(x) = ax 2 + bx + c so, dass ;  i = 1   n (f(x i ) – y i ) 2 minimal ist. Diese Funktion heißt quadratische Regressionsfunktion. Wenn mindestens vier der x i paarweise verschieden sind, dann gibt es genau eine kubische Funktion f mit f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d so, dass ;  i = 1   n (f(x i ) – y i ) 2 minimal ist. Diese Funktion heißt kubische Regressionsfunktion. Wenn mindestens zwei der x i paarweise verschieden sind, dann gibt es genau eine Exponentialfunktion f mit f(x) = b·e a·x so, dass ;  i = 1   n (f(x i ) – y i ) 2 minimal ist. Diese Funktion heißt exponentielle Regressionsfunktion. lineare Regression y x f Korrelations koeffizient (nach Pearson) quadratische, kubische und exponentielle Regression y x f y x f y x f Zusammenfassung: Regressionsrechnung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv