Mathematik anwenden HUM 4, Schulbuch

7 Achtung Es gibt aber auch Funktionen, deren Graphen wir nicht ohne Absetzen zeichen können, die aber trotzdem stetig sind. Zum Beispiel sind die Funktionen f: R \{0} ¥ R mit f(x) = ​  1 _ x ​und g: R \{0} ¥ R mit g(x) = ln( † x † ) stetig. Die Definitionsbereiche von f und g enthalten 0 nicht, daher sind diese Funktionen stetig, obwohl ihre Graphen über dem Intervall (‒4; 4) nicht in einem Zug gezeichnet werden können. Man kann zeigen: Alle Polynomfunktionen, alle Potenzfunktionen, alle Exponentialfunktionen und alle Logarithmus­ funktionen sind stetig. 1 Gib an, an welchen Stellen die Funktion mit dem dargestellten Graphen (Zeichnung rechts) nicht stetig ist. 2 Die Eintrittskarte in ein Thermalbad kostet 18€ für bis zu 2 Stunden Badezeit. Darüber hinaus wird ein Betrag von 8€ pro angefangener Stunde verrechnet. a. Zeichne den Graphen der Funktion, die jeder positiven reellen Zahl t die Gesamtkosten für t Stunden Badezeit zuordnet. b. Gib an, wo diese Funktion stetig ist und wo nicht. 3 In der Parkgarage des Wilhelminenspitals in Wien bezahlt man für jede angefangene Stunde Parken 1,90€. a. Zeichne den Graphen der Funktion, die jeder positiven reellen Zahl t in Stunden die Gesamtkosten für t Stunden Parkzeit zuordnet. b. Untersuche, wo die Funktion stetig ist und wo nicht. 4 Ein Temperaturschreiber zeichnet den Graphen einer Funktion, die jedem Zeitpunkt die Temperatur an einem bestimmten Ort zuordnet. Erkläre, was es bedeutet, dass diese Funktion stetig ist. 5 Die Funktion f mit f(x) = x 2 + 1 ist stetig und auf ganz R definiert. Finde eine Zahl s so, dass für alle x mit † x – 3 † < s gilt: † f(x) – f(3) † < r a. r = 1 b. r = ​  1 _  10 ​ c. r = ​  1 _  100 ​ d. r = ​  1 _  1000 ​ 6 Viele Vorgänge in der Natur und der Wirtschaft können durch Funktionen von einer Teilmenge von R nach R beschrieben werden. Gebt mindestens zwei solcher Vorgänge an, die durch eine stetige Funktion, und zwei andere, die nicht durch eine stetige Funktion beschrieben werden können. Präsentiert eure Ergebnisse der Klasse. 7 Die Integerfunktion und die HeavisideFunktion sind nicht stetige Funktionen. Recherchiert mithilfe des Internets diese Begriffe und notiert die Zuordnungsvorschriften dieser Funktionen. Zeichnet die Graphen der Funktionen. Können diese Funktionen auch in einem Tabellenkalkulationsprogramm, einem CAS oder einem TR verwendet werden? Erweitert eure Übersicht um die entsprechenden Befehle. x f(x) 0 4 2 2 4 4 2 2 4 f x g(x) 0 4 2 2 4 4 2 2 4 g Beispiele stetiger Funktionen C x y 0 4 2 2 4 2 2 : B, C : B, C : D , B ; A, B, C ; ; B, C 1.1 Stetige Funktionen und Grenzwerte von Funktionen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv