Mathematik anwenden HUM 4, Schulbuch

68 237 Der Kostenverlauf eines Produktionsbetriebs ist durch folgende bekannte Daten gegeben: Produktionsmenge (x i ) in ME 2 5 7 9 10 Kosten (y i ) in GE 30 45 55 70 80 a. Nähere diesen Zusammenhang durch eine quadratische Kostenfunktion an. b. Nähere diesen Zusammenhang durch eine kubische Kostenfunktion an. c. Stelle die quadratische und die kubische Kostenfunktion zusammen mit den gegebenen Zahlenpaaren in einem Koordinatensystem dar. Entscheide, welche der beiden Funktionen den tatsächlichen Kostenverlauf besser wiedergibt. d. Berechne die voraussichtlichen Kosten für 12ME. 238 Ein Marktforschungsinstitut ermittelt, wie hoch bei einem bestimmten Verkaufspreis die Nachfrage nach einem neuen Smartphone ist. Preis p in € 160 350 500 600 Nachfrage N(p) in Stück 14000 11 000 6000 2000 a. Ermittle mittels quadratischer Regression die Nachfrage­ funktion N, die jedem Preis p die daraus resultierende Nachfrage N(p) zuordnet. b. Ermittle mit der in Aufgabe a. erhaltenen Nachfragefunktion, ab welchem Verkaufspreis die Nachfrage nach dem Smartphone verschwindet. Exponentielle Regression Ein Biologe zählt jährlich die Anzahl der Schildkröten an einem Ufer. Zeitpunkt x i (in Jahren) 1 2 3 4 5 Anzahl der Schildkröten y i 13 24 39 68 117 Er vermutet, dass die Anzahl der Schildkröten exponentiell wächst, und will wissen, wie viele Schildkröten es vermutlich im 6. Jahr sein werden. Dazu sucht er eine Funktion f mit f(x) = b·e a·x so, dass die Summe der Fehlerquadrate ​ ;  i = 1 ​  n ​ (​f(​x​ i ​) – ​y​ i ​)​ 2 ​ möglichst klein ist. Mit Technologieeinsatz erhält er f mit f(x) = 7,74·e 0,54x = 7,74·1,72  x . Im 6. Jahr sind es daher vermutlich f(6) = 7,74·1,72 6 ≈ 200 Schildkröten. Gegeben sind Zahlenpaare (x 1  , y 1 ), (x 2  , y 2 ), …, (x n  , y n ) so, dass mindestens zwei der x i verschieden sind. Dann gibt es genau eine Exponentialfunktion f mit f(x) = b·e a·x so, dass die Summe der quadratischen Abweichungen ​ ;  i = 1 ​  n ​ (f(​x​ i ​) – ​y​ i ​)​ 2 ​ minimal ist. Diese Funktion heißt exponentielle Regressionsfunktion . , A, B, D , A, B exponentielle Regression Regressionsrechnung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv