Mathematik anwenden HUM 4, Schulbuch

66 2.2 Weitere Regressionsmodelle Ich lerne Regressionsfunktionen zu bestimmen, die einen quadratischen oder kubischen Zusammenhang zwischen gegebenen Merkmalen bestmöglich beschreiben. Ich lerne Regressionsfunktionen zu bestimmen, die einen exponentiellen Zusammenhang zwischen gegebenen Merkmalen bestmöglich beschreiben. Quadratische und kubische Regression Einem Betrieb entstanden in der Vergangenheit folgende Kosten: monatliche Produktionsmenge x i (in ME) 2 4 6 8 10 monatliche Kosten y i (in GE) 8 11,2 14,4 22,4 34 Dabei steht ME für „Mengeneinheiten“ und GE für „Geldeinheiten“. Wir wollen die Kostenfunktion K ermitteln, die jeder Produktionsmenge die Kosten dafür zuordnet. Dabei soll wieder gelten: Die Summe der quadratischen Abweichungen ;  i = 1   n (K(x i ) – y i ) 2 soll möglichst klein sein. Aus der Betriebswirtschaft ist bekannt, dass Kostenfunktionen häufig nicht linear sind, sondern annähernd quadratische oder kubische Funktionen. Am Rechner stehen uns neben der linearen Regression auch andere Regressionsmodelle zur Wahl. Wir versuchen es mit einem Poly nom mit Grad 2 und mit Grad 3. Das Resultat ist die nebenstehende Grafik. Da die quadratische Funktion im Intervall [0; 2] monoton fallend ist, kann es sich bei dieser Funktion um keine Kostenfunktion handeln. Wir wählen also für die gesuchte Kostenfunktion die kubische Funktion K mit K(x) = 0,04x 3 – 0,29x 2 + 2,07x + 4,8. Gegeben sind Zahlenpaare (x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 ), …, (x n , y n ) so, dass mindestens drei bzw. vier der x i paarweise verschieden sind. Dann gibt es genau eine quadratische bzw. genau eine kubische Funktion f so, dass die Summe der quadratischen Abweichungen ;  i = 1   n (f(x i ) – y i ) 2 minimal ist. Diese Funktion heißt quadratische bzw. kubische Regressionsfunktion. Man kann zeigen: Ist f mit f(x) = ax 2 + bx + c die quadratische Regressionsfunktion , dann sind die Zahlen a, b und c Lösungen des linearen Gleichungssystems a ;    x i   4 + b ;    x i   3 + c ;    x i   2 = ;    x i   2 y i a ;    x i   3 + b ;    x i   2 + c ;    x i = ;    x i y i a ;    x i   2 + b ;    x i + c·n = ;    y i . quadratische und kubische Regressions funktion Regressionsrechnung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv