Mathematik anwenden HUM 4, Schulbuch

60 220 Gegeben sind die drei Zahlenpaare (1 1 1), (4 1 2) und (6 1 4). Berechne die Summe der quadrati­ schen Abweichungen der linearen Funktion f mit f(x) = 0,6x + 0,2 bezüglich dieser Zahlenpaare. Wir erstellen eine Tabelle: x i y i f(x i ) (f(x i ) – y i ) 2 1 1 f(1) = 0,6·1  + 0,2 = 0,8 (0,8 – 1) 2  = 0,04 4 2 f(4) = 0,6·4 + 0,2 = 2,6 (2,6 – 2) 2 = 0,36 6 4 f(6) = 0,6·6 + 0,2 = 3,8 (3,8 – 4) 2 = 0,04 ​ ;  ​  ​ (f(x i ) – y i ) 2 ​= 0,44 Die Summe der quadratischen Abweichungen ist 0,44. 221 Gegeben sind die Zahlenpaare (‒2 1 ‒ 3), (2 1 1), (4 1 5) und (6 1 7). a. Berechne die Summe der quadratischen Abweichungen der linearen Funktion f mit f(x) = 1,2x – 0,4 bezüglich dieser Zahlenpaare. b. Berechne die Summe der quadratischen Abweichungen der linearen Funktion g mit g(x) = 1,3x – 0,7 bezüglich dieser Zahlenpaare. 222 Ein Reisebüro hat mit einer Umfrage erhoben, wie viele Personen eine Reise zu einem bestimmten Preis buchen würden. Zwischen dem Preis und der Anzahl der Personen wird ein linearer Zusammenhang vermutet. a. Bestimme die lineare Regressionsfunktion. b. Zeichne ein Punktdiagramm und stelle die Regressions­ funktion graphisch dar. c. Berechne mithilfe der Regressionsfunktion, wie viele Personen voraussichtlich die Reise buchen würden, wenn sie um 1 300€ angeboten wird. d. Interpretiere die Steigung der Regressionsgeraden im Sachzusammenhang. a. Wir bezeichnen die Preise mit x i und die Anzahl der Personen mit y i . Um das Gleichungs­ system I) a·​ ;  ​  ​ x i 2 ​+ b·​ ;  ​  ​ x i ​= ​ ;  ​  ​ x i y i ​ II) a·​ ;  ​  ​ x i ​+ b·n = ​ ;  ​  ​ y i ​ zu bestimmen, berechnen wir zunächst die benötigten Summen. Dazu erstellen wir eine Tabelle: x i y i x i 2 x i y i   800 48 800 2 = 640000 800·48 = 38400   900 47 900 2 = 810000 900·47 = 42300 1 000 34 1 000000 34000 1100 28 1 210000 30800 1 200 22 1 440000 26400 ​ ;  ​  ​ x i ​= 5000 ​ ;  ​  ​ y i ​= 179 ​ ;  ​  ​ x i 2 ​= 5100000 ​ ;  ​  ​ x i y i ​= 171 900 Wir erhalten das Gleichungssystem b. I) 5100000a + 5000b = 171 900 II) 5000a + 5b = 179 mit den Lösungen a = ‒0,071 und b = 106,8. Die lineare Regressionsfunktion ist somit f mit f(x) = ‒ 0,071x + 106,8. c. Wir berechnen f(1 300) = ‒ 0,071·1 300 + 106,8 = 14,5. Es werden voraussichtlich ca. 15 Personen die Reise buchen. d. Die Steigung der Regressionsgeraden ist ‒0,071. Das bedeutet theoretisch, wenn man den Preis um 1€ anhebt, werden voraussichtlich um 0,071 Personen weniger diese Reise buchen. Daher: Erhöht man den Preis um 100€, so werden voraussichtlich um 0,071·100 ≈ 7 Personen weniger diese Reise buchen. B die Summe der quadratischen Abweichungen berechnen B : Preis in € Anzahl Personen 800 48 900 47 1 000 34 1100 28 1 200 22 A, B eine lineare Regressions­ funktion finden  ggb/xls/tns gr3ue7 Preis in € Anz. der Personen 0 20 40 60 1100 1000 1200 1300 900 800 700 600 Regressionsrechnung Nur zu Prüfz ecken – Eigentum des Verlags öbv