Mathematik anwenden HUM 4, Schulbuch

6 1.1 Stetige Funktionen und Grenzwerte von Funktionen Ich lerne die Begriffe „Stetigkeit“ und „Grenzwert“ von Funktionen intuitiv zu erfassen und damit zu argumentieren. Stetige Funktionen Für eine Parkgarage gilt folgender Tarif: Für jede angefangene Stunde werden 2€ verrechnet. Fährt man also um 11:00 Uhr in die Garage und verlässt sie um 11:59 Uhr, zahlt man 2€, ab 12:00 Uhr aber schon 4€ und ab 13:00 Uhr 6€. Wir bezeichnen mit p die Funktion von R + nach R , die jeder positiven reellen Zahl t die Parkgebühr für t Stunden Parken zuordnet. Wenn man ungefähr eine halbe Stunde parken möchte, macht es keinen Unterschied, ob man die Parkgarage ein paar Minuten früher oder später verlässt, denn man zahlt stets 2€. Hat man hingegen vor, ungefähr eine Stunde lang zu parken, so kann schon eine Verspätung von nur einer Sekunde dazu führen, dass man anstelle von 2€ plötzlich 4€ zu zahlen hat. Man sagt, dass p in ​  1 _ 2 ​ stetig , in 1 aber unstetig ist. An der Stelle 1macht der Graph von p einen „Sprung“. Eine Funktion f heißt stetig an der Stelle a (aus dem Definitionsbereich von f), wenn gilt: Zu jeder Zahl r > 0gibt es eine Zahl s > 0 so, dass aus † x – a † < s folgt, dass † f(x) – f(a) † < r ist. In anderen Worten: „Wenn x nahe genug bei a ist, dann kommt der Funktionswert f(x) dem Funk­ tionswert f(a) beliebig nahe.“ Die Funktion heißt stetig , wenn sie an jeder Stelle ihres Definitionsbereichs stetig ist. Tipp Am Graphen einer Funktion kann man die Stetigkeit erkennen: Wenn der Graph über jedem Intervall, das in ihrem Definitionsbereich enthalten ist, „in einem Zug“ (ohne abzusetzen) gezeichnet werden kann, dann ist die Funktion stetig. Graph einer stetigen Funktion: Graph einer Funktion, die nicht stetig ist:  ggb/tns 83ca6c p(t) t 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0 4 8 12 16 p stetige Funktion x y x y ? Differentialrechnung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv