Mathematik anwenden HUM 4, Schulbuch

59 Für die Summe der Zahlen a 1 , a 2 ,…, a n schreiben wir ;  i = 1   n a i oder einfach kurz ;    a i , also ;    a i = ;  i = 1   n a i = a 1 + a 2 + … + a n (sprich: „die Summe der Zahlen a i mit i von 1 bis n“). Das Summenzeichen Σ (sprich: „Sigma“) ist das große griechische s. Der Buchstabe i heißt Index. Statt i kann jedes andere Zeichen verwendet werden. Gegeben sind n Zahlenpaare (x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 ), …, (x n , y n ) so, dass mindestens zwei der x i verschieden sind. Dann gibt es genau eine lineare Funktion f so, dass die Summe der quadratischen Abweichungen ;  i = 1   n (f(x i ) – y i 2 )= (f(x 1 ) – y 1 ) 2 + (f(x 2 ) – y 2 ) 2 + … + (f(x n ) – y n ) 2 von f bezüglich (x 1 , y 1 ), …, (x n , y n ) minimal ist. Diese Funktion heißt lineare Regressionsfunktion, ihr Graph Regressionsgerade oder Trendlinie. Man kann zeigen: Ist f mit f(x) = ax + b die lineare Regressionsfunktion, dann sind die Zahlen a und b Lösungen des linearen Gleichungssystems I) a ;  i = 1   n x i 2 + b ;  i = 1   n x i = ;  i = 1   n x i y i II) a ;  i = 1   n x i + b·n = ;  i = 1   n y i . Diese Vorgangsweise, eine Funktion eines vorgegebenen Typs zu finden, die den Zusammenhang zwischen (x 1 , x 2 ,…, x n ) und (y 1 , y 2 ,…,y n ) möglichst gut beschreibt, heißt Methode der kleinsten Quadrate. GeoGebra Tabellenansicht / Datenanalyse  Eingabe der Zahlen x i und y i in der Tabellenansicht  „Analyse zweier Variablen“   Regressionsmodell: „Linear“ CAS-Fenster Trendlinie[ <Liste von Punkten> ] Tabellenansicht / Datenanalyse ¥ ¥ CAS-Fenster Excel  Eingabe der Zahlen x i und y i in die Tabelle  Einfügen ¥ Diagramme ¥ „Punkte nur mit Daten punkten“  Rechtsklick auf die Punkte: „Trendlinie einfügen“  Auswahl „Linear“ und „Formel im Diagramm anzeigen“ ¥ ¥ ¥ ¥ TI Nspire Lists & Spreadsheet-Applikation Daten eingeben Data & Statistics-Applikation Spalten den Koordinatenachsen zuweisen b ¥ 4: Analysieren ¥ 6: Regression ¥ 1: Lineare Regres- sion (mx + b) anzeigen ¥ ¥ ¥ Summen zeichen y x f lineare Regressions funktion, Regressions gerade, Trendlinie Methode der kleinsten Quadrate eine lineare Regressions funktion berechnen ggb/xls/tns 82r7ew 2.1 Lineare Regression Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv