Mathematik anwenden HUM 4, Schulbuch

54 Summenregel (f + g)’ = f’ + g’ und (f – g)’ = f’ – g’ Faktorregel (c·f)’ = c·f’ Produktregel (f·g)’ = f’·g + f·g’ Quotientenregel 2    f _ g   3  ’ =   f’·g – f·g’ __ g 2 Kettenregel (f ° g)’ = (f’ ° g)·g’, also: Für die Funktion h mit h(x) = f(g(x)) ist h’(x) = f’(g(x))·g’(x). Ableitungen wichtiger Funktionen: Funktion f Ableitung f’ f(x) = x n f’(x) = n·x n – 1 f(x) = c n x n + c n – 1 x n – 1 + … + c 2 x 2 + c 1 x + c 0 f’(x) = n·c n x n – 1 + (n – 1)·c n – 1 ·x n – 2 + … + 2·c 2 x + c 1 f(x) = e x f’(x) = e x f(x) = ln(x) f’(x) =   1 _ x f(x) = a x f’(x) = ln(a)·a x Monotonie Wenn f differenzierbar und auf (a; b) streng monoton wachsend ist, dann ist f’(x) > 0 für alle x * (a; b). Wenn f differenzierbar und auf (a; b) streng monoton fallend ist, dann ist f’(x) < 0 für alle x * (a; b). Extremstellen Wenn a eine lokale Extremstelle von f ist, dann muss f’(a) = 0 sein. Wenn außerdem f’’(a) < 0 ist, dann ist a eine lokale Maximumstelle und (a 1 f(a)) ein Hochpunkt . Wenn außerdem f’’(a) > 0 ist, dann ist a eine lokale Minimumstelle und (a 1 f(a)) ein Tiefpunkt . Krümmung Der Graph einer zweimal differenzierbaren Funktion f ist über dem Intervall (a; b) linksge krümmt , wenn für alle Zahlen x in (a; b) f’’(x) > 0 ist, und rechtsgekrümmt , wenn für alle Zahlen x in (a; b) f’’(x) < 0 ist. Wendestellen Eine Zahl a im Definitionsbereich einer zweimal differenzierbaren Funktion f heißt Wendestelle von f, wenn a eine Extremstelle der Ableitungsfunktion f’ ist. Der Punkt (a 1 f(a)) des Graphen von f heißt dann Wendepunkt von f. Wenn a eine Wendestelle ist, dann ist f’’(a) = 0. Differentiations regeln Eigenschaften von Funktionen f’’ f’ f rechtsgekrümmt linksgekrümmt Wendepunkt Hochpunkt Tiefpunkt Zusammenfassung: Differentialrechnung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv