Mathematik anwenden HUM 4, Schulbuch

53 Zusammenfassung Wenn der Graph über jedem Intervall, das in ihrem Definitionsbereich enthalten ist, „in einem Zug“ (ohne abzusetzen) gezeichnet werden kann, dann ist die Funktion stetig . Ist f eine reellwertige Funktion, deren Definitionsbereich das Intervall [a; b] enthält, so bezeichnen wir den Quotienten der Differenz der Funktionswerte und der Differenz der Argumente ​  f(b) – f(a) __  b – a  ​ als Differenzenquotient von f über dem Intervall [a; b] bzw. als mittlere Änderungsrate der Funktion f im Intervall [a; b]. Geometrisch gesehen ist der Differenzenquotient die Steigung der Sekante des Graphen von f durch die Punkte (a 1 f(a)) und (b 1 f(b)). Ist f eine reellwertige Funktion und existiert der Grenzwert ​ lim  b ¥ a ​ f(b) – f(a) __ b – a  ​ für b gegen a, dann sagt man, dass f an der Stelle a differenzierbar ist. In diesem Fall schreiben wir f’(a) für diesen Grenzwert und nennen f’(a) die lokale Änderungsrate oder den Differential­ quotienten oder die Ableitung von f an der Stelle a. Die Funktion f heißt differenzierbar , wenn sie an jeder Stelle ihres Definitionsbereiches differenzierbar ist. Dann heißt die Funktion f’ , die jeder Zahl a im Definitionsbereich von f den Differentialquotienten f’(a) zuordnet, die Ableitung oder Ableitungsfunktion von f. Die Funktion f differenzieren heißt, ihre Ableitung f’ zu berechnen. Die Gerade durch den Punkt A = (a 1 f(a)) des Graphen von f mit der Steigung f’(a) heißt Tangente an den Graphen von f im Punkt A oder kurz Tangente von f an der Stelle a. Ist f eine differenzierbare Funktion, so nennt man die lineare Funktion t mit t(x) = f(a) + f’(a)·(x – a) die lineare Näherung von f an der Stelle a . Ihr Graph ist die Tangente von f an der Stelle a. Beschreibt man die Bewegung eines Körpers durch die ZeitWegFunktion s, so ist seine Durch­ schnittsgeschwindigkeit im Zeitintervall [t 1  ; t 2  ] ​  s(​t​ 2 ​) – s(​t​ 1 ​) __ ​t​ 2 ​– ​t​ 1 ​  ​ , seine Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt t v(t) = s’(t) und seine Beschleunigung zum Zeitpunkt t a(t) = v’(t) = s’’(t). stetige Funktionen x y x y ? Differenzen­ quotient x y Sekante f a b f(a) f(b) b – a f(b) – f(a) B = (b 1 f(b)) A = (a 1 f(a)) Differential­ quotient lineare Näherung Tangente Durchschnitts­ geschwin­ digkeit, Momentan­ geschwin­ digkeit, Beschleunigung Zusammenfassung: Differentialrechnung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv