Mathematik anwenden HUM 4, Schulbuch

51 188 Eine Bäuerin hat 100m Drahtzaun und möchte damit für ihre Schafe eine rechteckige Weide mit möglichst großem Flächeninhalt umzäunen. Berechne die Länge und die Breite dieser Weide. 189 Berechne, wie zwei Zahlen x und y, deren Differenz 40 beträgt, gewählt werden müssen, damit das Produkt von x und y möglichst klein wird. 190 Ein Rechteck soll einen Flächeninhalt von 100 cm 2 besitzen. Berechne, wie lange die Seiten dieses Rechtecks sein müssen, damit sein Umfang minimal ist. 191 Ein Bauer hat 100m Zaun und will damit eine rechteckige Weidefläche einzäunen. Eine Seite der Weide ist von einer geraden Mauer begrenzt und muss daher nicht eingezäunt werden. Berechne, wie lange und wie breit dieser Weidefläche sein muss, damit ihr Flächeninhalt maximal wird. Gib den maximalen Flächeninhalt an. 192 Aus einem A4Papier (21 cm × 29,7cm) soll eine oben offene Schachtel mit dem größtmöglichen Volumen hergestellt werden. Dazu werden an den vier Ecken Quadrate der Seitenlänge hcm herausgeschnitten und die vier Seiten zu einer Schachtel der Höhe hcm hochgeklappt. Berechne h und das größtmögliche Volumen. Die Grundfläche der Schachtel ist ein Rechteck mit den Seitenlängen 29,7 – 2h cm und 21 – 2h cm. Das Volumen bei einer Höhe von hcm ist dann (29,7 – 2h)(21 – 2h)h cm 3 . Wir betrachten also die Funktion V, die jeder reellen Zahl die Zahl V(h) = (29, 7 – 2h)(21 – 2h)h zuordnet und suchen ihre Maximalstellen. V(h) = 4h 3 – 101,4h 2 + 623,7h V’(h) = 12h 2 – 202,8h + 623,7 Die Nullstellen der quadratischen Funktion V’ sind h 1 ≈ 4,04 und h 2 ≈ 12,86. Es ist V’’(h) = 24h – 202,8 , also ist V’’(h 1 ) < 0 und V’’(h 2 ) > 0. Somit ist h 1 die einzige Maximum­ stelle von V. Das Herausschneiden von Quadraten der Seitenlänge h 2 ≈ 12,86 cm wäre auch gar nicht möglich, da die Breite des Blattes nur 21 cm beträgt und 21 < 2h 2 ist. Wenn die Höhe der Schachtel 4,04 cm beträgt, ist das Volumen größtmöglich und zwar ca. 1128,50 cm 3 . 193 Eine rechteckige Metallplatte mit einer Länge von 40 cm und einer Breite von 30 cm soll durch das Entfernen von vier Quadraten in den Ecken zu einer Metalllade mit möglichst großem Volumen gebogen werden. Ermittle die Länge der zu entfernenden Blechquadrate. 194 Aus einem rechtwinkeligen Papier (20 cm × 30 cm) ist gemäß der Skizze das Netz eines Quaders mit möglichst großem Volumen auszuschneiden. Berechne die Länge der Seiten a, b, c. Welches Volumen hat die Schachtel dann? 195 Löse Aufgabe 194 noch einmal, wenn das Papier die Maße 40 cm × 80 cm hat. 196 Wie sind die Abmessungen für eine oben offene quadratische Kiste mit einem Inhalt von 8dm 3 zu wählen, wenn damit der Materialverbrauch möglichst klein ist? Ermittle die Maße der Kiste. A, B , A, B , A, B , A, B , a b b A, B A4  ggb/tns 4dk3yn eine Extremwert­ aufgabe lösen , A, B ; A, B a a c c b 30cm 20cm ; A, B A, B ; 1.6 Anwendungen der Differentialrechnung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv