Mathematik anwenden HUM 4, Schulbuch

50 185 Die Anzahl der Downloads einer neuen App für Smartphones t Tage nach dem Erscheinen kann annähernd durch f(t) =   2500000 __  1 + 1000·e ‒0,08t beschrieben werden. a. Zeichne den Graphen der Ableitungsfunktion f’. b. Begründe: Die Ableitung f’(t) von f an der Stelle t gibt annähernd die Anzahl der Downloads dieser App am Tag t an. c. Ermittle, zu welchem Zeitpunkt die Anzahl der Downloads am stärksten gewachsen ist, und gib an, um wie viele Downloads pro Tag es sich dabei handelt. 186 Nachdem man eine bestimmte Vogelart im Jahr 2015 unter Naturschutz gestellt hat, vermutet man, dass sich der Bestand dieser Vogelart durch die Funktion N mit N(t) =   12000 __  1 + 23·e ‒0,2t beschreiben lässt. Dabei ist t die Anzahl der seit 2015 vergangenen Jahre und N(t) die Anzahl der Vögel nach t Jahren. a. Berechne den Differenzenquotienten   N(1) – N(0) __ 1 – 0  und interpretiere diese Zahl. b. Zeichne den Graphen der Funktion N’ und ermittle den Hochpunkt dieses Graphen. c. Erkläre, welche Aussage man anhand der Koordinaten dieses Hochpunktes über den Bestand dieser Vogelart machen kann. d. Berechne, in welchem Jahr der Zuwachs des Vogelbestands voraussichtlich erstmals unter 50 Vögel/Jahr sinkt. 187 Die Höhe einer Fichte (in m) nach t Jahren kann durch die Funktion h mit h(t) = 90·(1 – e ‒0,0063t ) beschrieben werden. a. Berechne und interpretiere den Differenzenquotienten   h(10) – h(0) __ 10 – 0  . b. Gib die Funktion v an, mit der sich die Wachstumsgeschwindigkeit (in m/Jahr) der Fichte beschreiben lässt. c. Ermittle das Alter und die Höhe dieser Fichte, wenn ihre Wachstumsgeschwindigkeit erstmals unter 25 cm/Jahr gesunken ist. Optimierungsaufgaben Ein Produzent von Konservendosen möchte den Materialverbrauch bei der Erzeugung seiner Dosen minimieren. Welchen Durchmesser und welche Höhe sollten seine (zylinderförmigen) Dosen haben, damit sie bei einem Volumen von 400m ® möglichst wenig Metall verbrauchen? Wir überlegen uns: Der Materialverbrauch wird durch die Oberfläche des Zylinders bestimmt. Wir müssen daher aus allen Zylindern mit einem Volumen von 400m ® = 400 cm 3 denjenigen ermitteln, der die minimale Oberfläche aufweist. Die Oberfläche eines Zylinders mit Radius r und Höhe h ist O = 2r 2 π + 2r π h. Diese Oberfläche soll minimal sein. Wir nennen das die Hauptbedingung unserer Optimierungsaufgabe. Dabei müssen wir allerdings die Nebenbedingung beachten, dass das Volumen V = r 2 π h = 400 cm 3 betragen muss. Daraus können wir h =   V _  r 2 π =   400 _ r 2 π berechnen und die Oberfläche wird dann durch die Funktion O mit O(r) = 2r 2 π + 2r π h = 2r 2 π + 2r π ·  400 _ r 2 π = 2r 2 π + 800r ‒1 beschrieben. Das lokale Minimum von O bestimmen wir mithilfe von Technologieeinsatz und erhalten r = 3 9 __   800 _  4 π  = 3,99 ≈ 4 cm. Für die Höhe h erhalten wir h =   400 _ r 2 π =   400 _  3,99 2 π = 7,997 ≈ 8 cm. Die ideale Dose für einen Inhalt von 400m ® hat somit einen Durchmesser von 8 cm und eine Höhe von 8 cm. B, D ; A, B, C ; A, B, C ; r O(r) 2 0 4 6 10 12 14 8 200 0 400 600 800 1000 1200 1400 T = (3,99 1 300,53) O Differentialrechnung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv