Mathematik anwenden HUM 4, Schulbuch

49 181 Eine Wasserschifahrerin wird hinter einem Boot hergezogen und wird dabei immer schneller. 3s nach dem Start hat sie einen Weg von 9,75m zurückgelegt, nach weiteren 3s schon 33m. In den ersten 6 Sekunden fährt das Boot mit konstanter Beschleunigung. Wir nehmen daher an, dass die ZeitWegFunktion s, die die Fahrt der Wasserschifahrerin beschreibt, quadratisch ist. a. Berechne die Koeffizienten der quadratischen Funktion s. b. Berechne, wie schnell die Wasserschifahrerin nach 5 s ist. Gib die Geschwindigkeit in km/h an. c. Ermittle, welche Beschleunigung die Wasserschifahrerin nach 4 s hat und gib sie in m/s 2 an. 182 Eine Speedskifahrerin fährt mit konstanter Beschleunigung einen Hang hinunter. 2s nach dem Start hat sie einen Weg von 10,4m zurückgelegt, nach weiteren 2s schon 41,6m. Wir nehmen daher an, dass die entsprechende ZeitWegFunktion s quadratisch ist. a. Berechne die Koeffizienten der quadratischen Funktion s. b. Berechne dann, wie schnell die Speedskifahrerin nach 3 s ist. Gib die Geschwindigkeit in km/h an. c. Ermittle die Durchschnittgeschwindigkeit zwischen den Zeitpunkten 2 s und 4 s nach dem Start. 183 Ein Radfahrer legt innerhalb von t Sekunden nach dem Start s(t) = 13t – 26·​ 9 ___ t + 1​+ 26m zurück. a. Zeige, dass die Geschwindigkeit dieses Radfahrers nach t Sekunden gleich v(t) = ​  13·​ 9 ___ t + 1​– 13 __ ​ 9 _ _ t + 1​ ​ m/s ist. b. Berechne seine Geschwindigkeit nach  I. 5 s,  II. 10 s sowohl in m/s als auch in km/h. c. Ermittle die Beschleunigung dieses Fahrers nach  I. 5 s,  II. 10 s. 184 Die Geschwindigkeit eines startenden Radfahrers ist nach t Sekunden gleich v(t) = 10 – ​  10 __  t 2 + 2t + 1 ​m/s. Die Beschleunigung zur Zeit t (in m/s 2 ) erhält man durch Ableitung der Funktion v an der Stelle t. Berechne die Beschleunigung am Start, nach 1 s und nach 5 s. Wachstumsprozesse Vera betreibt einen erfolgreichen VideoBlog im Internet. Sie hat sich ausgerechnet, dass sich die Anzahl an Personen, die einen neu veröffentlichten Beitrag inner­ halb von t Stunden nach dem Erscheinen angesehen haben, annähernd durch die Funktion N mit N(t) = ​  50000 __  1 + 1000·​e​ ‒0,1t​ ​ ​ beschreiben lässt. Sie möchte daraus ermitteln, zu welchem Zeitpunkt nach der Veröffentlichung die Anzahl der Personen, die ihren Beitrag gerade ansehen, am größten ist. Wir überlegen uns: Wenn innerhalb einer Stunde p Personen den Beitrag ansehen, so wächst innerhalb dieser Stunde die Anzahl der Personen, die diesen Beitrag insgesamt gesehen haben, um p Personen. Daher ist p die mittlere Änderungsrate von N innerhalb dieser Stunde. Wir können den Zeitpunkt daher bestimmen, indem wir herausfinden, wann die momentane Änderungsrate N’ ihr Maximum erreicht. Das lokale Maximum von N’ finden wir mit Technologieeinsatz. Wir erhalten den Hochpunkt H = (69,08 1 1 250). Somit ist die Zunahme der Anzahl der Personen, die Veras Beitrag gesehen haben, 69 Stunden nach der Veröffentlichung, mit 1 250 Personen/Stunde am größten. A, B , A, B , ; B, D ; B t in Stunden Änderungsrate von N’(t) 10 2 N’ 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 200 800 1000 1200 1400 0 400 600 H = (69,08 1 1250) 1.6 Anwendungen der Differentialrechnung Nur zu Prüfzwecken – Eig ntum des Verlags öbv