Mathematik anwenden HUM 4, Schulbuch

47 172 Die Flugbahn eines Fußballs kann, so der Luftwiderstand berücksichtigt wird, mithilfe einer Poly nomfunktion mit Grad 3 beschrieben werden. Ein Torwart hat beim Abstoß den optimalen Winkel von 45° getroffen und kann so den Ball 45m weit schießen. Dabei erreicht der Ball nach 27m die größte Höhe. Berechne die Koeffizienten der Polynomfunktion. 173 Um den Eingangsbereich eines Altbaus leichter zugänglich zu machen, soll eine Rampe konstruiert werden. Für die Konstruktion soll auf einer waagrechten Entfernung von 2m ein Höhenunterschied von 40 cm ausgeglichen werden. Die Rampe soll dabei beide Ebenen ohne Kanten „glatt” verbinden. Das Profil dieser Rampe wird durch eine Polynomfunktion f mit f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d modelliert, deren Graph an den zwei Anschlussstellen einen Tiefpunkt und einen Hochpunkt hat. Der Ursprung des Koordinatensystems soll dort liegen, wo die Rampe die Straße berührt. Als Längeneinheit wählen wir Zentimeter. a. Fertige eine Skizze der Rampe im Koordinatensystem an. b. Berechne die Koeffizienten a, b, c und d. c. Ermittle die maximale Steigung der Rampe in Prozent und in Grad. 174 Eine Materialseilbahn überwindet eine Höhe von 150m bei einer horizontalen Strecke von 450m. In 25m horizontaler Entfernung von der Talstation beträgt der Durchhang des Tragseiles 1m. (Der Durchhang ist der vertikale Abstand zwischen der gedachten geradlinigen Verbindung zwischen Talstation und Bergstation und dem Tragseil.) a. Berechne die durchschnittliche Steigung der Materialseilbahn. b. Berechne, in welcher Höhe über der Talstation sich das Tragseil in 25m horizontaler Entfernung von der Talstation befindet. c. Der Verlauf des Tragseils kann annähernd durch eine quadratische Funktion beschrieben werden. Berechne deren Koeffizienten. Bewegungsaufgaben Die Differentialrechnung wurde Ende des 17. Jahrhunderts von Gottfried Wilhelm Leibnitz und von Isaac Newton erfunden. Newton hat die Differentialrechnung verwendet, um Bewegungen – insbesondere der Planeten – mathematisch zu beschreiben. Somit ist die Differentialrechnung von Anfang an eng mit den sogenannten Bewegungsaufgaben verbunden. Auch wir haben bereits gelernt, Geschwindigkeit und Beschleunigung mithilfe der Differentialrechnung zu bestimmen. Unsere Ergebnisse fassen wir hier noch einmal kurz zusammen: Beschreibt man die Bewegung eines Körpers durch die ZeitWegFunktion s, so ist seine Durch schnittsgeschwindigkeit im Zeitintervall [t 1 ; t 2 ]   s(t 2 ) – s(t 1 ) __ t 2 – t 1   , seine Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt t v(t) = s’(t) und seine Beschleunigung zum Zeitpunkt t a(t) = v’(t) = s’’(t). 175 Ein Stein wird aus einer Höhe von 1,75m nach oben geschleudert. Seine Höhe in Meter zum Zeitpunkt t wird durch die Funktion h mit h(t) = ‒   9,81 _  2  ·t 2 + 20t + 1,75 beschrieben. Berechne, mit welcher Geschwindigkeit der Stein auf dem Boden aufschlägt. Zunächst berechnen wir den Zeitpunkt t, zu dem der Stein am Boden landet. In diesem Augenblick ist seine Höhe h(t) = 0, also ‒   9,81 _  2  ·t 2 + 20t + 1,75 = 0. Die Lösungen dieser Gleichung sind t 1 ≈ ‒ 0,09 und t 2 ≈ 4,16, also landet der Stein nach 4,16 s am Boden. Seine Geschwindigkeit ist die momentane Ände rungsrate der Höhe, also v(t) = h’(t) = ‒ 9,81t + 20. v(4,16) = ‒ 20,8. Der Stein schlägt also mit einer Geschwindigkeit von 20,8m/s ≈ 75 km/h am Boden auf. Da er nach unten fällt, erhalten wir für die Geschwindigkeit eine negative Zahl. ; A, B ; A, B ; A, B Durchschnitts geschwin digkeit, Momentan geschwin digkeit, Beschleunigung A, B eine Bewegungs aufgabe lösen 1.6 Anwendungen der Differentialrechnung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv