Mathematik anwenden HUM 4, Schulbuch

46 166 Ein Fußballer trifft den Ball beim Freistoß 22m vor dem Tor in einer Höhe von 13 cm. Die gegnerische Mauer überfliegt der Ball in einer Höhe von 2,80m und ist 9,20m vom Fußballer entfernt. Der Torwart fängt den Ball 1m vor dem Tor in einer Höhe von 2,50m. a. Fertige eine Skizze an und finde eine quadratische Funktion, deren Graph den Flug des Balls näherungsweise beschreibt. b. Hätte der Ball das Tor getroffen, wenn der Torwart ihn nicht gefangen hätte? Hinweis: Ein Fußballtor ist 2,44m hoch. c. Ermittle, unter welchem Winkel der Fußballer den Ball abgeschossen hat und unter welchem Winkel der Torwart den Ball fängt. d. Berechne, wie hoch der Ball maximal war. Verwende dazu die Differentialrechnung. e. Begründe, dass die Funktion im betrachteten Bereich zwischen Fußballer und Torwart höchstens ein Maximum haben kann. 167 Eine Polynomfunktion mit Grad 3 hat den Wendepunkt (2 1 ‒3) und in (1 1 ‒1) einen Hoch- oder Tiefpunkt. Berechne die Koeffizienten der Polynomfunktion. Die gesuchten Koeffizienten bezeichnen wir mit a, b, c, d, dann ist f mit f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d die gesuchte Polynomfunktion. Ihre erste und zweite Ableitung sind f’ und f’’ mit f’(x) = 3ax 2 + 2bx + c f’’(x) = 6ax + 2b. Wir schreiben nun an, was die Bedingungen in der Angabe für die Zahlen a, b, c und d bedeuten: I) a·2 3 + b·2 2 + c·2 + d = ‒3 … (2 1 ‒3) ist ein Punkt des Graphen von f, also ist f(2) = ‒3 II) 6a·2 + 2b = 0 … 2 ist eine Wendestelle von f , also ist f’’(2) = 0 III) a·1 3 + b·1 2 + c·1 + d = ‒1 … (1 1 ‒ 1) ist ein Punkt des Graphen von f, also ist f(1) = ‒1 IV) 3a·1 2 + 2b·1 + c = 0 … f hat an der Stelle 1 einen Extremwert, also ist f’(1) = 0 Dieses System von 4 linearen Gleichungen mit 4 Unbekannten lösen wir mit einer geeigneten Technologie und erhalten a = 1, b = ‒6, c = 9, d = ‒ 5, daher ist f(x) = x 3 – 6x 2 + 9x – 5. 168 Der Graph einer Polynomfunktion mit Grad 3 enthält einen Hochpunkt (3 1 2) und einen Tiefpunkt (‒ 2 1 ‒ 3). Bestimme die Koeffizienten der Polynomfunktion. 169 Für eine Polynomfunktion mit Grad 3 ist (‒1 1 0) ein Wendepunkt und 2 eine Nullstelle. Die Steigung der Wendetangente beträgt ‒2,25. a. Stelle ein Gleichungssystem auf, mit dem man die Koeffizienten der Polynomfunktion berechnen kann. b. Zeige, dass f mit f(x) = 0,25x 3 + 0,75x 2 – 1,5x – 2 die gewünschten Eigenschaften hat. 170 Der Graph einer Polynomfunktion mit Grad 3 enthält den Ursprung und hat den Wendepunkt (1 1 5). Die Ableitung dieser Funktion hat 1 als Nullstelle. Ermittle ihre Koeffizienten. 171 Ein Golfball wird auf ebenem Gelände unter einem Winkel von 32° abgeschlagen. Er erreicht den höchsten Punkt seiner Flugbahn in einer Entfernung von 75m und landet 120m vom Abschlagspunkt wieder auf dem Boden. Beschreibe die Flugbahn dieses Golfballs durch den Graphen einer Polynomfunktion h vom Grad 3 und stelle die Flugbahn graphisch dar. ; A, B, D A, B eine Polynom­ funktion mit vorgegebenen Eigenschaften bestimmen  ggb/tns j2he3s , A, B A, B , A, B , A, B ; Differentialrechnung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv