Mathematik anwenden HUM 4, Schulbuch

45 160 Bestimme die Koeffizienten der quadratischen Funktion, deren Graph die Punkte (2 1 7) und (‒ 3 1 2) enthält und deren Tangente an der Stelle ‒2 die Steigung ‒2 hat. Wir suchen drei Zahlen a, b und c so, dass die quadratische Funktion f mit f(x) = ax 2 + bx + c die Bedingungen f(2) = 7, f(‒ 3) = 2 und f’(‒ 2) = ‒ 2 erfüllt. Wegen f’(x) = 2ax + b bedeutet das: I) 4a + 2b + c = 7 II) 9a – 3b + c = 2 III) ‒ 4a + b = ‒ 2 Als Lösung dieses linearen Gleichungssystems mit 3 Unbekannten erhalten wir die Koeffizienten a = 1, b = 2 und c = ‒1. Daher ist f(x) = x 2 + 2x – 1. 161 Eine quadratische Funktion hat 2 als Nullstelle. Ihr Graph schneidet die yAchse im Punkt (0 1 ‒4). Die Ableitung der Funktion an der Stelle 3 ist 4. Berechne die Koeffizienten der Polynomfunktion. 162 Eine quadratische Funktion hat ‒6 als Nullstelle. Ihr Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0 1 ‒ 3). Die Steigung der Tangente der Funktion an der Stelle 4 ist 3. Ermittle die Koeffizienten der Polynomfunktion. 163 Beim Kugelstoßen wirft ein Sportler die Kugel aus einer Höhe von 1,80m unter einem Winkel von 35° ab. In 15m Entfernung landet die Kugel auf dem Boden. Beschreibe die Flugbahn durch den Graphen einer quadratischen Funktion. Nimm dazu an, dass sich der Sportler im Ursprung des Koordinatensystems befindet. Da der Abwurfwinkel 35° ist, ist die Steigung der gesuchten Funktion an der Stelle 0 tan(35°) = 0,7002 ≈ 0,7. Daraus ergibt sich folgendes Gleichungssystem: I) f(0) = 1,80, da die Kugel aus 1,80m Höhe abgestoßen wird. II) f’(0) = 0,7, da die Steigung der Funktion beim Abwurf 0,7 beträgt. III) f(15) = 0, da die Kugel nach 15m am Boden landet, also die Höhe 0 hat. Für die quadratische Funktion f mit f(x) = ax 2 + bx + c und f’(x) = 2ax + b bedeutet das: I) a·0 2 + b·0 + c = 1,80 II) 2a·0 + b = 0,7 III) a·15 2 + b·15 + c = 0 Wir erhalten a = ‒ ​  41 _  750 ​ , b = 0,7, c = 1,8. Die Flugbahn ist daher der Graph der Funktion f mit f(x) = ‒ ​  41 _  750  ​x 2 + 0,7x + 1,8. 164 Beim Football wirft der Quarterback aus einer Höhe von 1,7m den Ball unter einem Winkel von 45° ab. Der Ball wird in 27m Entfernung vom Fänger in einer Höhe von 2m gefangen. a. Beschreibe die Flugbahn des Balls als Graph einer quadratischen Funktion. Nimm dazu an, dass sich der Quarterback im Punkt (0 1 0) befindet. b. Berechne die Koeffizienten dieser quadratischen Funktion. c. Ermittle, in welcher Entfernung vom Quarterback der Ball am höchsten in der Luft ist. 165 Ein Fußball wird unter einem Winkel von 33° abgeschossen und schlägt in einer Entfernung von 16m wieder auf dem Boden auf. Die Flugbahn des Balls soll durch den Graph einer quadrati­ schen Funktion f mit f(x) = ax 2 + bx + c beschrieben werden. a. Stelle ein Gleichungssystem auf, mit dem man die Koeffizienten a, b und c berechnen kann. b. Zeige, dass a = ‒ 0,041, b = 0,649 und c = 0 eine Lösung dieses Gleichungssystems ist. c. Berechne die maximale Höhe, die der Ball auf seiner Flugbahn erreicht. A, B eine Polynom­ funktion mit vorgegebenen Eigenschaften bestimmen  ggb/tns 6yv7sx , A, B A, B , A, B eine Flugbahn durch den Graphen einer quadratischen Funktion beschreiben , A, B  ggb/tns p9qv2v A, B , 1.6 Anwendungen der Differentialrechnung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv