Mathematik anwenden HUM 4, Schulbuch

44 1.6 Anwendungen der Differentialrechnung Ich lerne eine Polynomfunktion mit vorgegebenen Eigenschaften zu ermitteln (Umkehrauf­ gaben). Ich lerne mithilfe der Differentialrechnung Anwendungsaufgaben aus unterschiedlichen The­ mengebieten zu modellieren und zu lösen. Ich lerne einfache Extremwertaufgaben zu modellieren und zu lösen. Umkehraufgaben Eine Garage ist 6m horizontal von der Straße entfernt, befindet sich aber 1m höher als diese Straße. Es soll eine Rampe aufgeschüttet werden, die die Garage und die Straße möglichst glatt, das heißt ohne „Knick“, verbindet. Wir suchen das geeignete Querschnittsprofil dieser Rampe. Zunächst wählen wir ein geeignetes Koordinatensystem. Die Straßenkante, von der die Rampe wegführen soll, befindet sich im Punkt A = (0 1 0), die Unterkante der Garageneinfahrt, bei der die Rampe enden soll, im Punkt B = (6 1 1). Die Profillinie der Rampe ist der Graph einer Funktion r mit folgenden Eigenschaften: I) r(0) = 0, da der Funktionsgraph den Punkt A = (0 1 0) enthalten muss. II) r(6) = 1, da der Funktionsgraph den Punkt B = (6 1 1) enthalten muss. III) r’(0) = 0, da der Funktionsgraph waagrecht in A in die Straße einmünden muss, um an dieser Stelle keinen „Knick“ zu haben. IV) r’(6) = 0, da die Rampe auch waagrecht in B in die Garage einmünden muss. Der Einfachheit halber entscheiden wir uns, für r eine Polynomfunktion möglichst kleinen Grades zu wählen. Da die Koeffizienten der Polynomfunktion Lösungen eines Systems mit 4 Gleichungen sein müssen, wählen wir eine Polynomfunktion r vom Grad 3, also mit 4 Koeffizienten. Dann ist r(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d. Die Koeffizienten a, b, c und d sind Lösungen des Gleichungssystems I) a·0 3 + b·0 2 + c·0 + d = 0 II) a·6 3 + b·6 2 + c·6 + d = 1 III) 3a·0 2 + 2b·0 + c = 0 IV) 3a·6 2 + 2b·6 + c = 0 Mit Technologieeinsatz erhalten wir a = ‒ ​  1 _  108  ​ , b = ​  1 _  12  ​ , c = 0, d = 0. Somit ist die gesuchte Funktion r mit r(x) = ‒ ​  1 _  108 ​x 3 + ​  1 _  12 ​x 2 . Eine Aufgabe, bei der eine Funktion f mit vorgegebenen Eigenschaften gesucht ist, nennen wir Umkehraufgabe . Aus der geometrischen Beschreibung dieser Eigenschaften erhält man Gleichungen: Geometrische Beschreibung Gleichung Der Graph von f geht durch den Punkt (p 1 q). f(p) = q Der Punkt (p 1 q) ist ein Hochpunkt oder Tiefpunkt des Graphen von f. f(p) = q und f’(p) = 0 Die Tangente an der Stelle p hat die Steigung k. f’(p) = k Der Graph von f hat im Punkt (p 1 q) einen Wendepunkt. f(p) = q und f’’(p) = 0 Der Graph von f schneidet in (p 1 0) die xAchse. f(p) = 0 1 2 4 5 6 7 8 9 10 11 x y 3 2 1 0 1 2 3 4 Straße Garage r A B Umkehraufgabe Differentialrechnung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv