Mathematik anwenden HUM 4, Schulbuch

43 152 Ein Aufzug fährt vom Erdgeschoß bis in den letzten Stock eines Hochhauses und benötigt dafür 10 Sekunden. Sein innerhalb von t Sekunden zurückgelegter Weg (in Meter) wird dabei durch die Funktion s mit s(t) = ‒   1 _  6 t 3 +   5 _ 2 t 2 beschrieben (0 ª t ª 10). a. Ermittle die ZeitGeschwindigkeitsfunktion v und die ZeitBeschleunigungsfunktion a. b. Berechne, zu welchem Zeitpunkt der Aufzug seine höchste Geschwindigkeit erreicht, und gib an, wie groß die Höchstgeschwindigkeit ist. c. Berechne jeweils die Beschleunigung am Beginn und am Ende der Fahrt. a. v(t) = s’(t) = ‒   1 _ 2 t 2 + 5t und a(t) = s’’(t) = ‒ t + 5 b. Für eine Extremstelle t muss v’(t) = 0 bzw. a(t) = 0 sein: ‒ t + 5 = 0 w t = 5 Da v’’(t) = ‒1 ist, ist insbesondere auch v’’(5) = ‒1 < 0 und daher ist 5 eine Maximumstelle. Die Höchstgeschwindigkeit wird nach 5 Sekunden erreicht und beträgt v(5) = 12,5m/s. c. a(0) = 5m/s 2 und a(10) = ‒ 5m/s 2 153 Der Weg eines Fahrzeuges während der ersten 4 Fahrsekunden wird durch die Funktion s mit s(t) =   1 _ 3 t 3 + t 2 beschrieben, dabei ist t die Zeit in Sekunden und s(t) der Weg in Meter. a. Ermittle die ZeitGeschwindigkeitsfunktion v und die ZeitBeschleunigungsfunktion a. b. Berechne die Geschwindigkeit des Fahrzeugs nach 2 Fahrsekunden. c. Bestimme die Beschleunigung zum Zeitpunkt 4 s. Interpretiere das Ergebnis. 154 Der Weg eines Fahrzeuges während der ersten 8 Fahrsekunden wird durch die Funktion s mit s(t) =   1 _  100 t 4 –   1 _ 2 t 3 + 5 t 2 –   1 _ 3 t beschrieben, dabei ist t die Zeit in Sekunden und s(t) der Weg in Meter. a. Ermittle die ZeitGeschwindigkeitsFunktion v und die ZeitBeschleunigungsfunktion a. b. Berechne, zu welchem Zeitpunkt das Fahrzeug die größte Geschwindigkeit erreicht und berechne diese. c. Bestimme die Beschleunigung zum Zeitpunkt 8 s. Interpretiere das Ergebnis. Was habe ich in diesem Abschnitt gelernt? Ich kann das Krümmungsverhalten von Funktionen mithilfe der zweiten Ableitung beschreiben. 155 Argumentiere mithilfe der zweiten Ableitung, ob die Funktion f mit f(x) =   3 _  16 x 3 –   9 _ 8 x 2 + 3 an der Stelle 4 linksoder rechtsgekrümmt ist. Ich kann Wendestellen und Wendepunkte einer Funktion ermitteln. 156 Bestimme für die Funktion g mit g(x) =   1 _ 2 x 4 +   1 _ 2 x 3 –   13 _ 2  x 2 –   1 _  2 x + 6 die Wendepunkte sowie die Wendetangenten. 157 Überprüfe rechnerisch, ob der Punkt (‒2 1 0) ein Wendepunkt der Funktion f mit f(x) = x·e x +   2 _  e 2 ist. Ich kann entscheiden, ob eine lokale Extremstelle eine lokale Maximumoder Minimumstelle ist. 158 Beschreibe, wie man alle lokalen Hochpunkte einer Funktion f rechnerisch ermitteln kann. Ich kann die zweite Ableitung einer ZeitWegFunktion als Beschleunigung interpretieren. 159 Der Weg eines Fahrzeuges während der ersten 10 Fahrsekunden wird durch die Funktion s mit s(t) =   1 _ 2 t 3 –   2 _ 3 t beschrieben, dabei ist t die Zeit in Sekunden und s(t) der Weg in Meter. a. Die zweite Ableitung der Funktion s ist s’’ mit s’’(t) = 3t. Interpretiere die Bedeutung dieser Funktion im Sachzusammenhang. b. Berechne die Beschleunigung des Fahrzeugs nach 5 Fahrsekunden. Momentan beschleunigung berechnen A, B ggb/tns tx8ue5 A, B, C , A, B, C , B, C B, C B, C C A, B 1.5 Die zweite Ableitung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv