Mathematik anwenden HUM 4, Schulbuch

42 Beschleunigung In einem Hochhaus benötigt der Aufzug vom Erdgeschoß bis in den letzten Stock 10 Sekunden. Dabei beschleunigt der Aufzug zunächst und bremst dann vor seinem Ziel wieder ab. Wie kann man diese Beschleunigung mathematisch beschreiben? Die durchschnittliche Beschleunigung im Zeitintervall [t 1  ; t 2  ] ist die Geschwindigkeitsänderung pro Zeiteinheit, also ​  v(​t​ 2 ​) – v(​t​ 1 ​) __  ​t​ 2 ​– ​t​ 1 ​  ​ , wenn v die ZeitGeschwindigkeitsfunktion ist. Die (momentane) Beschleunigung ist die momentane Änderungsrate der Geschwindigkeit und somit erhält man die ZeitBeschleunigungs­ funktion a als Ableitung der ZeitGeschwindigkeitsfunktion v: a = v’ Da v = s’ ist, ist die ZeitBeschleunigungsfunktion die zweite Ableitung der ZeitWegFunktion: a = s’’ Angegeben wird die Beschleunigung zumeist in der Einheit ​  m _ s  ​/s, wofür man kurz m/s 2 schreibt. Eine Beschleunigung von 5m/s 2 bedeutet demnach, dass die Geschwindigkeit jede Sekunde um 5m/s zunimmt. Anhand der Grafik erkennt man, dass der Aufzug zunächst mit 5m/s 2 beschleunigt, wobei die Beschleunigung ständig abnimmt, bis sie nach 5 s 0m/s 2 beträgt. Der Aufzug hat zu diesem Zeitpunkt seine maximale Geschwindigkeit erreicht. Gleich darauf beginnt der Aufzug zu bremsen, was sich daran erkennen lässt, dass die Beschleunigung jetzt negativ ist. Wenn der Aufzug nach 10 Sekunden sein Ziel erreicht, beträgt die Beschleunigung a(10) = ‒5m/s 2 und die Geschwindigkeit wird v(10) = 0m/s, der Aufzug kommt zum Stehen. Die Beschleunigung zum Zeitpunkt t ist die momentane Änderungsrate der Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t. Gemessen wird die Beschleunigung meist in der Einheit ​  m _ s  ​/s = m/s 2 . Ist s(t) der zum Zeitpunkt t zurückgelegte Weg, v(t) die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t und a(t) die Beschleunigung zum Zeitpunkt t, so ist a(t) = v’(t) = s’’(t). 149 Ein PKW beschleunigt in 12 Sekunden von 0 km/h auf 100 km/h. Berechne die durchschnittliche Beschleunigung des PKW in m/s 2 . 100 km/h = ​  100 _  3,6  ​m/s = 27,78m/s. Diese Geschwindigkeit wird in 12 Sekunden erreicht. Daher ist die durchschnittliche Beschleunigung ​  27,78m/s __ 12s  ​= 2,31m/s 2 . 150 Berechne die durchschnittliche Beschleunigung des PKW in m/s 2 . a. VW Golf VII: von 0 km/h auf 100 km/h in 11,9 s b. Porsche 911: von 0 km/h auf 100 km/h in 5,1 s c. Ferrari F430: von 0 km/h auf 100 km/h in 3,6 s 151 Ein Passagierflugzeug benötigt um abzuheben eine Geschwindigkeit von 275 km/h. Diese Geschwindigkeit erreicht das Flugzeug beim Start innerhalb von 30 s. a. Berechne die durchschnittliche Beschleunigung des Flugzeuges beim Startvorgang in m/s 2 . b. Berechne, wie lange das Flugzeug bei dieser Beschleunigung benötigt, um von 0km/h auf 100 km/h zu beschleunigen. Fahrzeit t in s s(t) in m, v(t) in m/s, a(t) in m/s 2 0 10 20 30 40 50 60 70 80 10 98 7 65432 1 0 a v s Beschleunigung durch­ schnittliche Beschleunigung berechnen B B : B , Differentialrechnung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv