Mathematik anwenden HUM 4, Schulbuch

41 141 Bestimme alle Wendestellen sowie die Wendetangenten der Funktion f mit f(x) =   1 _ 2 x 4 – x 3 –   13 _ 2  x 2 + 7x + 12. Gib an, auf welchen Intervallen die Funktion linksgekrümmt und auf welchen Intervallen die Funktion rechtsgekrümmt ist. 142 Untersuche mithilfe einer geeigneten Technologie, ob die Funktion f mit f(x) =   x _  x 2 + 1 Wendestellen hat, und gib diese gegebenenfalls an. 143 Begründe, dass eine Polynomfunktion vom Grad 3 stets einen Wendepunkt besitzen muss. Hochpunkt oder Tiefpunkt? Wir haben bereits gelernt, dass eine lokale Extremstelle a einer Funktion f eine Nullstelle von f’ ist: Mithilfe der zweiten Ableitung f’’ können wir jetzt in vielen Fällen entscheiden, ob es sich bei a um eine Maximumstelle oder eine Minimumstelle handelt. In einem Hochpunkt ( H ) muss der Funktionsgraph stets rechtsgekrümmt, also f’’(a) < 0 sein. In einem Tiefpunkt ( T ) ist der Funktionsgraph hingegen linksgekrümmt, also muss f’’(a) > 0 sein. Sollte allerdings eine Nullstelle von f’ auch eine Nullstelle von f’’ sein, dann können wir keine Entscheidung treffen. Der entsprechende Punkt am Graphen könnte ein Hochpunkt, ein Tiefpunkt oder keines von beiden (wie der „Sattelpunkt“ S) sein. Ist f eine zweimal differenzierbare Funktion und f’(a) = 0, dann könnte a eine Extremstelle sein. Ist zusätzlich f’’(a) < 0 , dann ist a eine Maximumstelle (und (a 1 f(a)) ein Hochpunkt ). Ist zusätzlich f’’(a) > 0 , dann ist a eine Minimumstelle (und (a 1 f(a)) ein Tiefpunkt ). 144 Bestimme alle lokalen Extremstellen und Extrempunkte der Funktion f mit f(x) = x 3 – 1,5x 2 + 4. Für die erste und zweite Ableitung von f erhalten wir f’(x) = 3x 2 – 3x und f’’(x) = 6x – 3. Ist x eine Extremstelle, dann muss f’(x) = 0 sein: 3x 2 – 3x = 0 Diese Gleichung hat die Lösungen 0 und 1. Wir berechnen die Funktionswerte der zweiten Ableitung f’’ an diesen Stellen: f’’(0) = ‒ 3 < 0 und f’’(1) = 3 > 0 Daher ist 0 eine Maximumstelle und 1 eine Minimumstelle von f. Wegen f(0) = 4 und f(1) = 3,5 ist (0 1 4) ein Hochpunkt und (1 1 3,5) ein Tiefpunkt von f. 145 Bestimme alle Extrempunkte der Funktion f mit f(x) = 0,1x 3 + 0,15x 2 – 1,8x + 1. 146 Bestimme die lokalen Extremstellen und Extrempunkte der Polynomfunktion f. a. f(x) = 3x 2 – 5x + 1 c. f(x) = x 3 – 2x 2 e. f(x) = x 4 – 2x 2 + 1 b. f(x) = ‒   1 _ 2 x 2 +   1 _ 4 x +   1 _ 2 d. f(x) = 2x 3 – 6x 2 – 5x f. f(x) = x 4 – 5x 2 + 6 147 Bestimme alle Extrempunkte der Funktion f. a. f(x) = (x – 4)·e x c. f(x) = e ‒x 2 e. f(x) = ln(x 2 – 4x + 7) b. f(x) = (x 2 – 2x + 2)·e x d. f(x) = 9 ______ x 2 – 5x + 8 f. f(x) =   5x _  x 2 + 1 148 Zeige durch Nachrechnen, dass die beiden Funktionen f und g ihre lokalen Extrema an den gleichen Stellen besitzen. a. f(x) = 0,5x 3 – 6x + 9 b. f(x) = x 2 – 2x + 3 c. f(x) = x 3 – x + 1 g(x) = 9 _______ 0,5x 3 – 6x + 9 g(x) = ln(x 2 – 2x + 3) g(x) = e x 3 – x + 1 ; B, C ; B D ; x y 0 2 1 1 2 3 4 3 2 1 1 2 f S H T Extremstellen bestimmen B Extremstellen bestimmen B , B , B ; ; B, D 1.5 Die zweite Ableitung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv