Mathematik anwenden HUM 4, Schulbuch

40 136 Ordne den Graphen der Funktion f die passenden Aussagen zu. a. x y 0 2 1 1 2 1 1 t f a A f’(a) < 0, f’’(a) = 0 B f’(a) > 0, f’’(a) = 0 b. x y 0 1 1 2 3 1 1 t f a C f’(a) < 0, f’’(a) > 0 D f’(a) > 0, f’’(a) < 0 137 Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = ‒   x 3 _  12 +   3x 2 _ 4  – 2. a. Berechne alle Wendepunkte. b. Gib je eine Gleichung der Wendetangenten an. a. Wir leiten f zweimal ab und erhalten, nachdem wir die Brüche gekürzt haben, f’(x) = ‒   x 2 _  4 +   3x _ 2  f’’(x) = ‒   x _  2 +   3 _  2 . Die möglichen Wendestellen sind Lösungen der Gleichung f’’(x) = 0: ‒   x _  2 +   3 _ 2 = 0 x = 3 Es gibt also höchstens eine Wendestelle, nämlich 3. Da f’’ auf (‒ • ; 3) positiv und auf (3; • ) negativ ist, ändert der Graph von f an der Stelle 3 seine Krümmung und 3 ist somit eine Wendestelle. Wegen f(3) = 2,5 ist der Wendepunkt W = (3 1 2,5). b. Es ist f(3) = 2,5 und f’(3) = 2,25. Die lineare Näherung an der Stelle 3 ist daher t mit t(x) = 2,5 + 2,25·(x – 3). Die Wendetangente ist der Graph von t, eine Gleichung davon ist y = 2,25x – 4,25. 138 Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = 0,25x 3 – 3x 2 + 4x + 10. a. Berechne die Wendestellen und gib die Wendepunkte an. b. Ermittle je eine Gleichung der Wendetangenten. 139 Betrachte die Funktion f mit f(x) =   1 _  33 x 4 –   2 _  33 x 3 –   4 _  11 x 2 +   19 _ 11 x. a. Berechne die Wendestellen und gib die Wendepunkte an. b. Ermittle je eine Gleichung der Wendetangenten. 140 Ordne den Funktionen ihre Wendepunkte zu. a. f mit f(x) = ‒   2 _ 5 x 4 +   12 _ 5  x 3 –   59 _ 5  x + 2 A (3 1 ‒1) und (‒ 2 1 0) B (‒ 3 1 ‒1) und (‒ 2 1 2) b. f mit f(x) = ‒   4 _  15 x 4 –   8 _ 3 x 3 –   48 _ 5  x 2 –   35 _ 3  x C (‒ 3 1 1) und (0 1 0) D (3 1 ‒1) und (0 1 2) C , B Wendepunkte und Wende tangenten berechnen ggb/tns a27f7z B , B , C , Differentialrechnung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv