Mathematik anwenden HUM 4, Schulbuch

39 131 Berechne die erste und die zweite Ableitung der Polynomfunktion f an der Stelle a. a. f(x) = 5x – 1; a = 12 c. f(x) = x 3 + 2x 2 ‒ 2x – 1; a = 1 e. f(x) = x 4 – 4x 2 + 1; a = ‒ 2 b. f(x) = ‒ x 2 + 2x – 3; a = ‒1 d. f(x) = ​  1 _ 2 ​x 3 – 2x 2 – x + 1; a = – 2 f. f(x) = ​  1 _ 2 ​x 4 + x 3 + 2x 2 + 2; a = 2 132 Berechne die erste und die zweite Ableitung der Funktion. a. a mit a(z) = e z c. c mit c(z) = e 2z e. e mit e(z) = ln(z) b. b mit b(z) = 3 z d. d mit d(z) = z·e z f. f mit f(z) = z·ln(z) 133 Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion f in einer Umgebung eines vorgegebenen Punktes (a 1 f(a)), sowie die Tangente von f an der Stelle a. Lies in der Zeichnung a, f(a) und f’(a) ab. Entscheide, ob f’’(a) > 0 oder f’’(a) < 0 ist. Der eingezeichnete Punkt hat die Koordinaten (2 1 3). Daher ist a = 2 und f(a) = 3. Die Steigung der Tangente ermitteln wir mit einem Steigungsdreieck: Geht man vom eingezeichneten Punkt 3 Einheiten nach rechts und 2 Einheiten nach oben, so landet man wieder in einem Punkt der Tangente. Daher ist die Steigung der Tangente ​  2 _ 3 ​und somit f’(2) = ​  2 _ 3 ​ . Der abgebildete Ausschnitt des Graphen der Funktion ist linksgekrümmt, daher ist f’’(2) > 0. 134 Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion f in einer Umgebung eines vorgegebenen Punktes (a 1 f(a)), sowie die Tangente von f an der Stelle a. Lies in der Zeichnung a, f(a) und f’(a) ab. Entscheide, ob f’’(a) > 0 oder f’’(a) < 0 ist. a. b. c. d. 135 Skizziere den Graphen der Funktion f mit den angegebenen Bedingungen in einer Umgebung des vorgegebenen Punktes des Graphen. Orientiere dich dabei an Aufgabe 134. a. c. e. f(2) = 3, f’(2) = ​  1 _ 2 ​ , f’’(2) > 0 f(3) = 1, f’(3) = 0, f’’(3) < 0 f(0) = 0, f’(0) = 1, f’’(0) < 0 b. d. f. f(3) = 5, f’(3) = ‒1, f’’(3) < 0 f(1) = 3, f’(1) = ​  3 _ 4 ​ , f’’(1) > 0 f(4) = 3, f’(4) = ‒ ​  2 _ 3 ​ , f’’(4) > 0 : B , B C bestimmen, ob eine Funktion rechtsoder linksgekrümmt ist x y 0 4 8 4 8 f , C x y 0 4 8 4 8 f x y 0 4 8 4 8 f x y 0 4 8 4 8 f x y 0 4 8 4 8 f A , x y 0 4 8 4 8 x y 0 4 8 4 8 x y 0 4 8 4 8 x y 0 4 8 4 8 x y 0 4 8 4 8 x y 0 4 8 4 8 1.5 Die zweite Ableitung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv