Mathematik anwenden HUM 4, Schulbuch

37 1.5 Die zweite Ableitung Ich lerne das Krümmungsverhalten von Funktionen mithilfe der zweiten Ableitung zu beschreiben. Ich lerne Wendestellen und Wendepunkte einer Funktion zu ermitteln. Ich lerne zu entscheiden, ob eine lokale Extremstelle eine Maximumoder Minimumstelle ist. Ich lerne die zweite Ableitung einer ZeitWegFunktion als Beschleunigung zu interpretieren. Krümmungsverhalten und Wendestellen Fassen wir den dargestellten Graphen einer Funktion f als Straße auf, die wir von links nach rechts durchfahren, dann fahren wir zuerst in eine Linkskurve und dann in eine Rechtskurve. Im Punkt W geht die Linkskurve in eine Rechts­ kurve über. Man sagt, der Graph ist bis W linksgekrümmt und ab W rechtsgekrümmt . Der Punkt W = (3 1 f(3)) heißt Wendepunkt und die Zahl 3 Wendestelle . Wir sehen, dass die Wendestelle auch eine Extremstelle der Ableitung f’ ist, also muss 3 eine Nullstelle der Ableitung von f’ sein. Diese Ableitung von f’ nennt man auch zweite Ableitung von f und schreibt dafür kurz f’’ . Wir sehen weiters, dass auf der Halbgeraden (• ; 3) die Ableitungsfunktion f’ streng monoton wachsend ist, die Funktionswerte ihrer Ableitung f’’ also alle positiv sind. Auf der Halbgeraden (3; • ) ist die Ableitungsfunktion f’ streng monoton fallend, die Funktionswerte der Ableitung f’’ sind also alle negativ. Ist f eine differenzierbare Funktion, deren Ableitungsfunktion f’ auch differenzierbar ist, dann heißt f zweimal differenzierbar und die Ableitungsfunktion (f’)’ von f’ die zweite Ableitung oder zweite Ableitungsfunktion von f. Wir schreiben dafür einfach f’’ . Der Graph einer zweimal differenzierbaren Funktion f ist über dem offenen Intervall D links­ gekrümmt , wenn ihre Ableitung f’ über D streng monoton wachsend ist, also für alle Zahlen a in D f’’(a) > 0 ist. Der Graph einer zweimal differenzierbaren Funktion f ist über dem offenen Intervall D rechts­ gekrümmt , wenn ihre Ableitung f’ über D streng monoton fallend ist, also für alle Zahlen a in D f’’(a) < 0 ist. Eine Zahl a im Definitionsbereich einer zweimal differenzierbaren Funktion f heißt Wendestelle von f, wenn a eine Extremstelle der Ableitungsfunktion f’ ist. Der Punkt (a 1 f(a)) des Graphen von f heißt dann Wendepunkt von f. Wenn a eine Wendestelle ist, dann ist f’’(a) = 0 (die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht). Die Tangente in einem Wendepunkt heißt Wendetangente .  ggb c76h55 f rechtsgekrümmt linksgekrümmt f’ f’’ W zweite Ableitung linksgekrümmt rechts­ gekrümmt Wendestelle Wendepunkt Wendetangente 1.5 Die zweite Ableitung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv