Mathematik anwenden HUM 4, Schulbuch

36 121 Ermittle für die Polynomfunktion f mit f(x) = ​  1 _ 2 ​x 3 – 3x 2 + ​  3 _ 2 ​x + 5 die Tangenten in den Punkten (1 1 f(1)) und (4 1 f(4)). Stelle dann den Graphen der Funktion und die Tangenten in diesen Punkten im gleichen Diagramm dar. 122 Die Erdanziehungskraft und somit die Fallbeschleunigung g nimmt mit dem Quadrat des Abstands vom Erdmittelpunkt ab. Da der Erdradius 6378 km und die Fallbeschleunigung auf der Erdoberfläche g = 9,81m/s 2 beträgt, ist der Betrag der Fallbeschleunigung in einer Höhe von h Kilometern gleich g(h) = ​  6378 2 __  (6378 + h) 2 ​·9,81. a. Berechne die lineare Näherung der Funktion g an der Stelle 0 und lies daraus ab, um wie viel m/s 2 die Fallbeschleunigung an der Erdoberfläche pro km Höhe abnimmt. b. Am 14.10.2012 sprang Felix Baumgartner in 39 km Höhe von einem Heliumballon ab. Berechne die Fallbeschleunigung in dieser Höhe  I. mit der oben angeführten Funktion g II. näherungsweise mithilfe des Ergebnisses von Aufgabe a. c. Recherchiere im Internet die Angaben des Projekts „Stratos“ zum Thema Fallbeschleunigung und vergleiche die Angaben mit den Berechnungen aus Aufgabe a. und b. Was habe ich in diesem Abschnitt gelernt? Ich kann die Monotonie einer Funktion mithilfe der Ableitung beschreiben. 123 Berechne, auf welchen offenen Intervallen oder Halbgeraden die Polynomfunktion f mit f(x) = 0,125x 3 + 0,375x 2 – 5,625x – 3 streng monoton wachsend und auf welchen offenen Intervallen oder Halbgeraden sie streng monoton fallend ist. 124 Begründe mithilfe der Differentialrechnung, warum die Funktion f mit f(t) = e ‒2t auf ganz R streng monoton fallend ist. Ich kann die lokalen Extremstellen und Extrempunkte einer Funktion bestimmen. 125 Berechne alle lokalen Extrempunkte der Funktion f mit f(z) = z 2 ·e z . 126 Ermittle alle lokalen Extremstellen der Funktion f: R + ¥ R , f(t) = ​  ln(t) _ t  ​und gib an, ob sie Minimumstellen oder Maximumstellen sind. Ich kann die Ableitungsfunktion graphisch darstellen und ihren Verlauf deuten. 127 Die Grafik zeigt einen Funktionsgraphen, bei dem an einigen Stellen die Steigung der Tangente dargestellt ist. Verwende diese Tangentensteigungen, um den Graphen der Ableitungsfunktion so genau wie möglich zu skizzieren. Ich kann eine Funktion lokal durch eine lineare Funktion annähern. 128 Berechne die Gleichung der Tangente der Funktion f mit f(x) = 0,5x 3 – 0,8x 2 – 2x + 2 an der Stelle 2. 129 Bestimme die lineare Näherung h der Polynomfunktion f mit f(x) = 2x 2 + 3x + 4 an der Stelle ‒1. Berechne damit näherungsweise den Funktionwert von f an den Stellen ‒1,01 und ‒ 0,99. , B  tns 45a33t ; B, C B D B B, C A, B, C x y 0 2 4 2 4 4 8 6 2 2 B B Differentialrechnung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv