Mathematik anwenden HUM 4, Schulbuch

35 GeoGebra Tangente[ <xWert> , <Funktion> ] TI Nspire tangentLine( Ausdr1 , Var = Punkt ) 115 Die Funktion f ist gegeben durch f(x) = x 3 – 3x 2 + x + 1. a. Ermittle die lineare Näherung t von f an der Stelle 2. b. Berechne damit näherungsweise f(2,1). c. Gib den Fehler an, der entsteht, wenn man f(2,1) durch t(2,1) annähert. a. Wir berechnen zunächst die Ableitung von f an der Stelle 2: f’(x) = 3x 2 – 6x + 1, daher ist f’(2) = 1. Es ist t(x) = f(2) + f’(2)·(x – 2), also t(x) = ‒1 + 1·(x – 2) = ‒1 + x – 2 = x – 3. b. f(2,1) ≈ t(2,1) = 2,1 – 3 = ‒ 0,9. c. Der exakte Funktionswert an der Stelle 2,1 ist f(2,1) = 2,1 3 – 3·2,1 2 + 2,1 + 1 = ‒ 0,869. Der Fehler ist also ‒ 0,9 – (‒ 0,869) = ‒ 0,031, das heißt, der Näherungswert ist um 0,031 zu klein. 116 Die Funktion f ist gegeben durch f(x) = x 3 + 2x 2 – x – 3. a. Ermittle die lineare Näherung t von f an der Stelle 1. b. Berechne mithilfe der linearen Näherung t näherungsweise f(0,9). c. Bestimme den Fehler, der entsteht, wenn man f(0,9) durch t(0,9) annähert. 117 Ordne den Funktionen ihre lineare Näherung an der Stelle a zu. a. f mit f(x) = x 2 + 2x – 2, a = 2 A t mit t(x) = 6x – 6 B t mit t(x) = 6x + 3 b. f mit f(x) = ‒ x 2 + 3x – 1, a = ‒2 C t mit t(x) = 7x – 6 D t mit t(x) = 7x + 3 118 Untersuche, welche der Funktionen t die lineare Näherung der Funktion f mit f(x) = ​  1 _ 2 ​x 3 ‒ 2x 2 + 4x – 7 an der Stelle a = 2 ist. A  t(x) = x + 7   B  t(x) = 2x + 7  C  t(x) = 2x – 7 D  t(x) = ‒ x + 7 E  t(x) = ‒ 2x + 7 119 Bestimme eine Gleichung der Tangente des Graphen der Funktion f mit f(x) = 3x 2 – 2 an der Stelle 1 und stelle den Funktionsgraphen und die Tangente in einem gemeinsamen Koordinatensystem dar. 120 Berechne eine Gleichung der Tangente des Graphen der Funktion f mit f(x) = ‒ ​  1 _ 2 ​x 2 + 4 an der Stelle ‒ 2 und stelle den Funktionsgraphen und die Tangente in einem gemeinsamen Koordinatensystem dar. Tangente ermitteln  ggb/tns y3n9m6 B lineare Näherung berechnen B , B, C , B, C , B , B , 1.4 Monotonie, Extremstellen und lineare Näherung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv