Mathematik anwenden HUM 4, Schulbuch

34 Lineare Näherung und Tangente Wir wollen versuchen, 9 __ 15ohne Taschenrechner zu berechnen und dazu auszunutzen, dass wir wissen, dass 9 __ 16= 4 ist. Betrachtet man den Graphen der Wurzelfunktion f mit f(x) = 9 _ x, so fällt auf, dass dieser Graph, wenn man nur einen kleinen Ausschnitt betrachtet, in der Nähe des Punktes (16 1 4) wie ein Geradenstück aussieht. Wir könnten uns viel Rechenarbeit ersparen, wenn wir anstelle der Wurzelfunktion eine lineare Funktion t an der Stelle 15 auswerten könnten. Der Graph dieser linearen Funktion muss die Tangente der Funktion f an der Stelle 16 sein. Da f’(x) =   1 _  2· 9 _ x ist, ist die Steigung der Tangente an der Stelle 16 f’(16) =   1 _  2· 9 __ 16 =   1 _ 8 . Die von uns gesuchte lineare Funktion t muss weiters die Eigenschaft haben, dass t(16) = f(16) = 9 __ 16= 4 ist. Diese beiden Eigenschaften hat die lineare Funktion t mit t(x) = 4 +   1 _  8 ·(x – 16). Wir nennen diese lineare Funktion t die lineare Näherung von f an der Stelle 16. Jetzt können wir 9 __ 15näherungsweise berechnen: 9 __ 15≈ t(15) = 4 +   1 _ 8 ·(15 – 16) = 4 –   1 _ 8 = 3,875 Zur Probe können wir quadrieren und erhalten 3,875 2 = 15,015625 ≈ 15. Allgemein ist die Tangente von f an der Stelle a immer der Graph einer linearen Funktion, deren Steigung f’(a) ist. Eine Gleichung dieser Geraden ist daher y = f’(a)·x + d, wobei d so zu wählen ist, dass der Punkt (a 1 f(a)) auf dieser Geraden liegt, also: f(a) = f’(a)·a + d Daraus erhalten wir d = f(a) – f’(a)·a. Somit ist y = f’(a)·x + (f(a) – f’(a)·a) = f(a) + f’(a)·(x – a) . Ist f eine differenzierbare Funktion, so nennt man die lineare Funktion t mit t(x) = f(a) + f’(a)·(x – a) die lineare Näherung von f an der Stelle a . Ihr Graph ist die Tangente von f an der Stelle a. Sie ist durch die Eigenschaften t(a) = f(a) und t’(a) = f’(a) eindeutig bestimmt. Für x in einer kleinen Umgebung von a ist t(x) ein guter Näherungswert für f(x). x y 1 0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 5 4 f x y 1 0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 5 4 t f lineare Näherung Tangente Differentialrechnung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv