Mathematik anwenden HUM 4, Schulbuch

33 110 Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x 3 – 3x 2 + x + 1. a. Berechne alle lokalen Extremstellen und gib die Extrempunkte an. b. Ermittle, auf welchen Intervallen oder Halbgeraden der Graph von f streng monoton fallend bzw. streng monoton wachsend ist. a. Die Ableitung von f an der Stelle x ist f’(x) = 3x 2 – 6x + 1. Ist x eine lokale Extremstelle, dann muss f’(x) = 0 sein. Wir lösen daher die Gleichung 3x 2 – 6x + 1 = 0 und erhalten die beiden möglichen Extremstellen x 1 = 0,18 und x 2 = 1,82. Es ist f(0,18) = 1,09 und f(1,82) = ‒1,09. Daher sind die beiden möglichen Extrempunkte E 1 = (0,18 1 1,09) und E 2 = (1,82 1 ‒1,09). b. Die Funktion f’ ist eine quadratische Funktion. Die Funktionswerte von f’ über dem offenen Intervall zwischen den Nullstellen 0,18 und 1,82 von f’ sind negativ und die über den Halbgeraden (‒ • ; 0,18) und (1,82; • ) positiv. Daher ist f ist auf (‒ • ; 0,18) und (1,82; • ) streng monoton wachsend und auf (0,18; 1,82) streng monoton fallend. Erst jetzt können wir auch Aufgabe a. vollständig beantworten: Da f auf (‒ • ; 0,18) streng monoton wachsend und auf (0,18; 1,82) streng monoton fallend ist, muss 0,18 eine Maximum­ stelle sein. Da f auf (0,18; 1,82) monoton fallend und auf (1,82; • ) streng monoton wachsend ist, muss 1,82 eine Minimumstelle sein. 111 Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = 0,2x 3 + 0,2x 2 – 1,2x. a. Berechne alle lokalen Extremstellen der Funktion und gib die Extrempunkte an. b. Ermittle, auf welchen Intervallen oder Halbgeraden der Graph von f streng monoton fallend bzw. wachsend ist. 112 Ermittle, auf welchen Intervallen die Polynomfunktion f von R nach R streng monoton wachsend bzw. streng monoton fallend ist. Bestimme dann die lokalen Extremstellen von f. a. f(x) = x 2 – 2x + 3 c. f(x) = x 3 – 2x 2 – 5x + 6 e. f(x) = ‒ x 3 + 6x 2 + x – 30 b. f(x) = ‒ ​  1 _ 2 ​x 2 – x + 2 d. f(x) = ​  1 _ 2 ​x 3 – ​  5 _ 2 ​x 2 + x + 4 f. f(x) = ‒ ​  1 _ 4 ​x 3 – ​  11 _  4 ​x 2 – 5x + 8 113 Ermittle, auf welchen Intervallen oder Halbgeraden der Graph der Funktion g mit g(z) = z·e z streng monoton wachsend bzw. streng monoton fallend ist. Bestimme alle lokalen Extrempunkte von g. Mithilfe der Produktregel berechnen wir g’(z) = 1·e z + z·e z = e z ·(1 + z). Da e z immer positiv ist, ist g’(z) genau dann positiv, wenn 1 + z > 0, also z > ‒1 ist, und genau dann negativ, wenn 1 + z < 0, also z < ‒1 ist. Daher ist g auf (‒ • ; ‒1) monoton fallend und auf (‒1; • ) monoton wachsend. Daraus folgt, dass ‒1 eine lokale Minimumstelle von g ist. Wegen g(‒1) = ‒1·e ‒1 ≈ ‒ 0,378 hat g den Tiefpunkt T = (‒1 1 ‒ 0,378). 114 Bestimme, auf welchen Intervallen die Funktion von R nach R streng monoton wachsend bzw. streng monoton fallend ist. Ermittle alle Hochund Tiefpunkte von f und fertige eine Skizze an. a. f mit f(x) = ​e​ ​x​ 2 ​ ​ c. f mit f(u) = u·​e​ ​  u _ 2 ​ ​ e. f mit f(z) = e z + z 2 b. f mit f(z) = ​e​ ‒​z​ 2 ​ ​ d. f mit f(t) = t 2 ·e t f. f mit f(u) = u·e u – u Monotonie und lokale Extremwerte berechnen B  ggb/tns v3e9x8 B , , B Monotonie und lokale Extrempunkte berechnen B B , 1.4 Monotonie, Extremstellen und lineare Näherung Nur zu Prüfzweck n – Eigentum des Verlags öbv