Mathematik anwenden HUM 4, Schulbuch

30 Eine differenzierbare Funktion f hat in einem Element a ihres Definitionsbereiches ein lokales Maximum , wenn alle Funktionswerte von Zahlen in einer kleinen Umgebung von a kleiner oder gleich f(a) sind. Die Zahl a heißt dann lokale Maximumstelle von f und der Punkt (a 1 f(a)) des Graphen von f wird ein Hochpunkt genannt. Wenn es reelle Zahlen a, b, c mit b < a < c gibt, sodass f auf dem Intervall (b; a) streng monoton wachsend und auf dem Intervall (a; c) streng monoton fallend ist, dann ist a eine lokale Maximumstelle von f. Eine differenzierbare Funktion f hat in einem Element a ihres Definitionsbereiches ein lokales Minimum , wenn alle Funktionswerte von Zahlen in einer kleinen Umgebung von a größer oder gleich f(a) sind. Die Zahl a heißt dann lokale Minimumstelle von f und der Punkt (a 1 f(a)) des Graphen von f wird ein Tiefpunkt genannt. Wenn es reelle Zahlen a, b, c mit b < a < c gibt, sodass f auf dem Intervall (b; a) streng monoton fallend und auf dem Intervall (a; c) streng monoton wachsend ist, dann ist a eine lokale Minimumstelle von f. Anstatt „a ist eine lokale Maximumstelle oder eine lokale Minimumstelle von f“ sagen wir auch kurz „a ist eine lokale Extremstelle von f“. Der Funktionswert von f in einer lokalen Extremstelle ist ein lokaler Extremwert . Statt „Hochpunkt oder Tiefpunkt“ sagen wir auch Extrempunkt . Wenn a eine lokale Extremstelle von f ist, dann muss f’(a) = 0 sein. Die Funktion hat also in jedem Extrempunkt eine waagrechte Tangente. Achtung Aus f’(a) = 0 kann man im Allgemeinen noch nicht schließen, dass a eine Extremstelle ist. Zum Beispiel ist die Funktion f mit f(x) = x 3 auf ganz R streng monoton wachsend, kann also keine Extremstelle haben. Die Ableitung dieser Funktion ist f’ mit f’(x) = 3x 2 . Da f’(0) = 0 ist, hat f an der Stelle 0 eine waagrechte Tangente (nämlich die xAchse). Dennoch ist 0 keine Extremstelle von f. Tipp Eine einfache Methode nachzuweisen, ob an einer Stelle a mit f’(a) = 0 ein Hochpunkt oder ein Tiefpunkt vorliegt, lernen wir im nächsten Abschnitt kennen. GeoGebra Extremum[ <Polynom­ funktion> ] TI Nspire Graphs-Applikation Graphen zeichnen ¥ b 6: Graph analysieren ¥ 2: Minimum / 3: Maxi- mum ¥ Bereich festlegen, in dem der Tiefpunkt oder Hochpunkt bestimmt und angezeigt werden soll ¥ lokales Maximum Hochpunkt x y f x 1 * (b; a) x 2 * (a; c) a b c f’(a) = 0 f’(x 1 ) > 0 f’(x 2 ) < 0 H lokales Minimum Tiefpunkt x y f x 1 * (b; a) x 2 * (a; c) a b c f’(a) = 0 f’(x 1 ) < 0 f’(x 2 ) > 0 T lokale Extremstelle Extrempunkt waagrechte Tangente x y 0 2 1 2 1 2 1 1 2 f Extrempunkte einer Polynom­ funktion ermitteln  ggb/tns 6dd4r4 Differentialrechnung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv