Mathematik anwenden HUM 4, Schulbuch

29 1.4 Monotonie, Extremstellen und lineare Näherung Ich lerne die Monotonie einer Funktion mithilfe der Ableitung zu beschreiben. Ich lerne die lokalen Extremstellen und Extrempunkte einer Funktion zu bestimmen. Ich lerne die Ableitungsfunktion graphisch darzustellen und ihren Verlauf zu deuten. Ich lerne eine Funktion lokal durch eine lineare Funktion anzunähern. Monotonie und Extremwerte Wir betrachten die Graphen einer Funktion f und ihrer Ableitung f’. Wir sehen, dass die Funktion f auf dem offenen Intervall (‒ 2; 1) streng monoton fallend ist (der Funktionsgraph geht hier „bergab“). Gleichzeitig ist auf diesem Intervall die Ableitung f’ negativ. An den Stellen x mit x < ‒2 und x > 1 ist f streng monoton wachsend (der Funktionsgraph geht hier „bergauf“). Hier ist f’ positiv. Der Funktionswert f(‒ 2) = 3 ist größer als alle Funktions­ werte in einer kleinen Umgebung. Man sagt, f hat an der Stelle ‒ 2 ein lokales Maximum oder ‒2 ist eine lokale Maximumstelle . Der Punkt H = (‒2 1 3) wird auch ein Hochpunkt des Funktionsgraphen genannt. Der Funktionswert f(1) = ‒ 3,75 ist kleiner als alle Funktionswerte in einer kleinen Umgebung. Man sagt, f hat an der Stelle 1 ein lokales Minimum oder 1 ist eine lokale Minimumstelle. Der Punkt T = (1 1 ‒ 3,75) wird ein Tiefpunkt des Funktionsgraphen genannt. Sowohl im Hochpunkt, als auch im Tiefpunkt hat der Funktionsgraph eine waagrechte Tangente. Daher hat f’ an der lokalen Maximumund Minimumstelle eine Nullstelle. Achtung Der Funktionswert an einer lokalen Maximumstelle muss nicht der größte Funktionswert der Funktion sein und der Funktionswert an einer lokalen Minimumstelle muss nicht der kleinste Funktionswert der Funktion sein. Die Punkte des Graphen am linken Rand der Zeichnung liegen unterhalb des Tiefpunktes und am rechten Rand der Zeichnung oberhalb des Hochpunktes. Diese Beobachtungen können auf beliebige differenzierbare Funktionen übertragen werden: Eine differenzierbare Funktion f ist auf einem offenen Intervall in ihrem Definitionsbereich genau dann streng monoton wachsend , wenn für alle Elemente a dieses Intervalls f’(a) > 0 ist. (Das bedeutet, dass die Steigung von f an der Stelle a positiv ist.) Ebenso ist die Funktion f auf diesem Intervall streng monoton fallend , wenn für alle Elemente a dieses Intervalls f’(a) < 0 ist. (Das bedeutet, dass die Steigung von f an der Stelle a negativ ist.) x y 0 2 4 2 4 2 2 4 f’ f H = (2 1 3) T = (1 1 3,75)  ggb 7kb6wj Monotonie 1.4 Monotonie, Extremstellen und lineare Näherung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv