Mathematik anwenden HUM 4, Schulbuch

27 87 Berechne die Ableitung der Funktion f mit f(x) = 3 9 ______ x 2 – 9x + 7. Die Funktion f ist die Verkettung a ° i der äußeren Funktion a mit a(x) = 3 9 _ xund der inneren Funktion i mit i(x) = x 2 – 9x + 7. Es ist a’(x) =   1 _  3· 3 9 __ x 2 und i’(x) = 2x – 9. Mithilfe der Kettenregel erhalten wir f’(x) = a’(i(x))·i’(x) =   1 ___  3· 3 9 _ __ __ (x 2 – 9x + 7) 2 ·(2x – 9) =   2x – 9 ___  3· 3 9 _ __ __ (x 2 – 9x + 7) 2   . 88 Bestimme die Ableitung der Funktion. a. f mit f(t) = 9 ___ 3t – 1 b. f mit f(t) = 9 _____ 2t 3 – 3t 2 c. f mit f(t) = 3 9 ____ t 2 + 3t 89 Ermittle die Ableitung. a. a mit a(x) = 9 ____ 5x + 1 c. c mit c(x) = 3 9 ____ 8 – 5x 2 e. g mit g(x) = 9 _____ 5x 3 + 2x b. b mit b(x) = 9 ___ 1 – x 2 d. d mit d(x) = 3 9 ______ 7x 2 + 4x – 4 f. f mit f(x) = 3 9 _____ 18x 3 – 6x 90 In der folgenden Ableitung f’ der Funktion f mit f(x) = 9 ______ 3x 2 – 2x + 1wurden zwei Fehler gemacht. Markiere diese deutlich und korrigiere die Fehler. f’(x) =   1 _  2 · 9 ______ 3x 2 – 2x + 1·(3x – 2) Ableitung von Exponential und Logarithmusfunktionen Zwei wichtige Funktionen, die wir im Zusammenhang mit Wachstumsprozessen kennengelernt haben, sind die Exponentialfunktion und die Logarithmusfunktion. Auch diese Funktionen sind differenzierbar. Ist f die Exponentialfunktion zur Basis e mit f(x) = e x , so ist f’ = f, also f’(x) = e x . Ist f die Logarithmusfunktion mit f(x) = ln(x) , so ist f’(x) =   1 _ x . Für eine positive reelle Zahl a und jede reelle Zahl x ist a x = e ln(a x ) = e x·ln(a) und für positive reelle Zahlen a und x ist log a (x) =   1 _  ln(a)  ·ln(x). Mithilfe der Kettenregel für f mit f(x) = a x = e x·ln(a) erhalten wir die Ableitung f’ mit f’(x) = e x·ln(a) ·ln(a) = ln(a)·a x . Für die Funktion g mit g(x) = log a (x) =   1 _  ln(a) ·ln(x) erhalten wir mithilfe der Faktorregel g’ mit g’(x) =   1 _  ln(a)  ·  1 _  x . Ist f die Exponentialfunktion zur Basis a > 0mit f(x) = a x , so ist f’(x) = ln(a)·a x . Ist f die Logarithmusfunktion zur Basis a > 0mit f(x) = log a (x) , so ist f’(x) =   1 _  ln(a)  ·  1 _ x . die Kettenregel anwenden B , B , B , B, C Ableitung von f mit f(x) = e x und f mit f(x) = ln(x) Ableitung von f mit f(x) = a x und f mit f(x) = log a (x) 1.3 Ableitungsregeln Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv