Mathematik anwenden HUM 4, Schulbuch

26 81 Ermittle die Ableitung der Funktion h. a. h(x) =   x – 3 _  x + 4 b. h(x) =   x 2 – 2x + 1 __ x + 6  c. h(x) =   x 2 + 3 _  2x – 5 d. h(x) =   2x 2 – 3x + 2 __  x – 7  82 Bestimme die Ableitung der Funktion f. a. f(x) =   x _  x + 1 b. f(x) =   3x 2 _  x 2 + 1 c. f(x) =   x 2 + 2x 3 __  x 3 – x 2 + 1 d. f(x) =   ‒x 4 _  x 2 – x 83 Ordne den Funktionen die richtige Ableitungsfunktion zu. a. f mit f(x) =   2x _  x – 1 A f mit f’(x) =   1 _  x – 1 B f’(x) =   2 _  x + 1 b. f mit f(x) =   x _  x + 1 C f mit f’(x) =   1 _  (x + 1) 2 D f mit f’(x) =   ‒2 _  (x – 1) 2 Kettenregel Sind a und i die Funktionen mit a(x) = 2x 2 und i(x) = 3x + 1, so kann man den Funktionswert von a an der Stelle i(x) berechnen. Es ist a(i(x)) = 2·i(x) 2 = 2·(3x + 1) 2 . Durch diese Zuordnungsvorschrift definieren wir eine neue Funktion, die a ° i („a nach i“) genannt wird. Der Funktionswert von i an der Stelle a(x) ist hingegen i(a(x)) = 3·a(x) + 1 = 3·2x 2 + 1. Die dadurch definierte Funktion heißt i ° a („i nach a“) und wir sehen, dass a ° i ≠ i ° a ist. Dieses nacheinander Ausführen zweier Funktionen wird auch Verkettung dieser Funktionen genannt. Die Verkettung von zwei Funktionen a und i ist die Funktion a ° i (sprich: a nach i) mit (a ° i)(x) = a(i(x)) . Der Funktionswert von a ° i an der Stelle x ist also der Funktionswert von a an der Stelle i(x). Achtung Wenn die Funktion a nicht auf ganz R definiert ist, kann die Verkettung a ° i nur dann gebildet werden, wenn alle Funktionswerte von i im Definitionsbereich von a liegen. Sind a und i zwei differenzierbare Funktionen, dann ist ihre Verkettung auch differenzierbar und (a ° i)’ = (a’ ° i)·i’ , also: Für die Funktion f mit f(x) = a(i(x)) ist f’(x) = a’(i(x))·i’(x) . Man sagt häufig, dass a die „äußere Funktion“ und i die „innere Funktion“ der Verkettung ist. Dann ist die Ableitung von a ° i an der Stelle x das Produkt der Ableitung der äußeren Funktion a an der Stelle i(x) und der Ableitung der inneren Funktion i an der Stelle x. („Äußere Ableitung mal innerer Ableitung“) 84 Berechne die Ableitung der Funktion f mit f(x) = (x 2 – 9x + 7) 3 . Um die Verkettung besser sichtbar zu machen, schreiben wir f(x) farbig an: f(x) = ( x 2 – 9x + 7 ) 3 . Die Funktion f ist die Verkettung a ° i der äußeren Funktion a mit a(x) = x 3 und der inneren Funktion i mit i(x) = x 2 – 9x + 7 . Es ist a’(x) = 3x 2 und i’(x) = 2x – 9 . Mithilfe der Kettenregel erhalten wir daraus f’(x) = a’(i(x))·i’(x) = 3( x 2 – 9x + 7 ) 2 ·( 2x – 9 ). 85 Berechne die Ableitung der Funktion f. a. f(x) = (2x + 4) 3 b. f(x) = (4x 2 ‒ 2x + 5) 3 c. f(x) = (x 3 + 1) 4 d. f(x) = (x 3 – 2x 2 + 1) 4 86 Ordne den Funktionen ihre Ableitungen zu. a. f mit f(x) = (x 2 + 2x + 3) 3 A f’ mit f’(x) = 3(x 2 + 2x + 3) 2 B f’ mit f’(x) = (3x 2 + 3) 2 b. f mit f(x) = (x 3 + 3x + 2) 2 C f’ mit f’(x) = 2(x 3 + 3x + 2)·(3x 2 + 3) D f’ mit f’(x) = 3(x 2 + 2x + 3) 2 ·(2x + 2) B , , B , C Verkettung von Funktionen Kettenregel die Kettenregel anwenden B B , B, C , Differentialrechnung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv