Mathematik anwenden HUM 4, Schulbuch

25 74 Berechne die Ableitung der Funktion h mit h(x) = (3x + 1)(x 2 – 7x + 4). Die Funktion h ist das Produkt der Funktion f mit f(x) = 3x + 1 und g mit g(x) = x 2 – 7x + 4. Wir wenden also die Produktregel an: h’(x) = f’(x)·g(x) + f(x)·g’(x) = 3·(x 2 – 7x + 4) + (3x + 1)·(2x – 7) 75 Berechne die Ableitungen der Funktion h. a. h(x) = (2x – 1)(x 2 + 3x) b. h(x) = (x 2 + 4)(2x 2 – x + 1) c. h(x) = (4x 2 + 3x)(5x 2 – 2) 76 Prüfe und kreuze an, welche der Ableitungen die Ableitung der Funktion f mit f(x) = (2 – x 2 )(3x 2 – 5) ist. A f’(x) = 6x 3 – 11x C f’(x) = 22x + 12x 3 E f’(x) = 22 – 24x 3 B f’(x) = 11x – 12x 3 D f’(x) = ‒12x 3 + 22x 77 Berechne die Ableitung der Funktion h mit h(x) = (5x 2 – 3x)· 3 9 _ x. Die Funktion h ist das Produkt von f mit f(x) = 5x 2 – 3x und g mit g(x) = 3 9 _ x= x   1 _ 3 . Wir berechnen f’(x) = 10x – 3 und g’(x) =   1 _ 3 ·x ‒  2 _ 3 =   1 _  3· 3 9 __ x 2 . Mit der Produktregel erhalten wir h’(x) = (10x – 3)· 3 9 _ x+ (5x 2 – 3x)·  1 _  3· 3 9 __ x 2   . 78 Ermittle die Ableitung der Funktion f. a. f(x) = (2 – x 3 )· 9 _ x b. f(x) = (x 2 + 2x)· 3 9 _ x c. f(x) = (x 2 – 3x + 1)· 3 9 __ x 2   79 Prüfe und kreuze an, welche der Ableitungen die Ableitung der Funktion f mit f(x) = (x 2 – 1)· 9 _ xist. A f’(x) = 2x· 9 _ x C f’(x) = (x 2 – 1)·  1 _  2 9 _ x E f’(x) = 2x· 9 _ x+   x 2 – 1 _ 2 9 _ x B f’(x) = (x 2 – 1)·  9 _ x _  2  D f’(x) = 2x·  1 _  2 9 _ x Quotientenregel Sind f und g Funktionen von demselben Definitionsbereich D nach R und hat g keine Nullstellen in D, dann ist der Quotient   f _ g von f und g die Funktion von D nach R mit 2    f _ g   3 (x) =   f(x) _ g(x) und heißt Quotient von f und g . Das Produkt von   f _ g und g ist f: f = 2    f _ g   3 ·g. Bildet man auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens die Ableitung, erhält man mithilfe der Produktregel f’ = 2    f _  g ·g  3  ’ = 2    f _ g   3  ’ ·g +   f _ g ·g’ und daher 2    f _ g   3  ’ =   f’ –   f _ g ·g’ __  g  =   f’·g – f·g’ __ g 2 . Sind die Funktionen f und g differenzierbar, dann ist auch deren Quotient   f _ g differenzierbar und 2    f _ g   3  ’ =   f’·g – f·g’ __ g 2 . 80 Berechne die Ableitung der Funktion h mit h(x) =   x 2 – x + 1 __ 3x + 4  . Die Funktion h ist der Quotient der Funktionen f mit f(x) = x 2 – x + 1 und g mit g(x) = 3x + 4. Nach der Quotientenregel ist h’(x) =   f’(x)·g(x) – f(x)·g’(x) ___  g(x) 2 =   (2x – 1)·(3x + 4) – (x 2 – x + 1)·3 ____   (3x + 4) 2 =   (6x 2 – 3x + 8x – 4) – (3x 2 – 3x + 3) _____ (3x + 4) 2 =   3x 2 + 8x – 7 __ (3x + 4) 2 . B die Produktregel anwenden B : B , B die Produktregel anwenden B , B , Quotient von Funktionen Quotienten regel B die Quotienten regel anwenden 1.3 Ableitungsregeln Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv