Mathematik anwenden HUM 4, Schulbuch

24 68 Berechne die Ableitung der Funktion a. g mit g(x) =   1 _ x , b. h mit h(x) =   5 _  6x 3 . a. Weil   1 _ x = x ‒1 ist, ist g die Potenzfunktion mit Exponent ‒1. Daher ist g’(x) = ‒1·x ‒1 – 1 = ‒1·x ‒2 = ‒   1 _  x 2 . b. Weil   5 _  6x 3 =   5 _ 6 x ‒3 ist, ist h das   5 _ 6 -Fache der Potenzfunktion mit Exponent ‒3. Daher ist h’(x) =   5 _ 6 ·(‒ 3)x ‒3 – 1 =   5 _ 6 ·(‒ 3)x ‒4 = ‒   5 _ 2 ·  1 _  x 4 = ‒   5 _  2x 4 . 69 Berechne die Ableitung der Funktion f. a. f(x) =   1 _  x b. f(x) =   1 _  x 5 c. f(x) =   4 _  x 3 d. f(x) =   1 _  3x 6 70 Berechne die Ableitungen der Funktion f. a. f(x) =   3 _  x 2 b. f(x) = ‒   2 _  x 3 c. f(x) =   1 _  2x 4 d. f(x) = ‒   1 _  3x 5 71 Ordne den Funktionen ihre Ableitungen zu. a. f mit f(x) = ‒   1 _  x 2 A f’ mit f’(x) = ‒   1 _  2x B f’ mit f’(x) =   2 _  x 3 b. f mit f(x) =   1 _  2x 4 C f’ mit f’(x) =   1 _  8x 3 D f’ mit f’(x) = ‒   2 _  x 5 72 Berechne die Ableitung der Funktion a. f mit f(x) = 9 _ x, b. g mit g(z) = 5 9 __ z 2 . a. Wegen 9 _ x= x   1 _ 2 ist f die Potenzfunktion mit Exponent   1 _ 2 . Daher ist f’(x) =   1 _  2 ·x   1 _ 2 – 1 =   1 _ 2 ·x ‒  1 _ 2 =   1 _  2 ·  1 _  x   1 _ 2 =   1 _  2· 9 _ x . b. Wegen 5 9 __ z 2  = z   2 _ 5 ist g die Potenzfunktion mit Exponent   2 _ 5 . Daher ist g’(z) =   2 _  5 ·z   2 _ 5 – 1 =   2 _  5 ·z ‒  3 _ 5 =   2 _  5· 5 9 __ z 3   . 73 Berechne die Ableitung der Funktion. a. f mit f(z) = 9 _ z c. f mit f(t) = 5 9 _ t 9 e. f mit f(t) =   1 _  9 _ t g. f mit f(u) =   3 _  5· 6 9 _ u b. f mit f(x) = 4 9 __ x 3 d. f mit f(x) = 3 9 __ x 5 f. f mit f(z) =   4 _  3 9 __ z 2 h. f mit f(r) =   2 _  3· 4 9 _ r 3 Produktregel Sind f und g reellwertige Funktionen mit demselben Definitionsbereich D, dann ist f·g die Funktion von D nach R mit (f·g)(x) = f(x)·g(x) und heißt Produkt von f und g . Tipp Für die Addition und die Multiplikation von Funktionen gelten die gleichen Rechenregeln wie für die Addition und die Multiplikation von Zahlen: Zum Beispiel können beim Addieren oder beim Multiplizieren Klammern weggelassen werden und die Summanden oder Faktoren vertauscht werden. Man kann zeigen, dass das Produkt von differenzierbaren Funktionen wieder differenzierbar ist. Sind f und g differenzierbare Funktionen von R (oder einer Teilmenge) nach R , dann ist auch ihr Produkt f·g differenzierbar und (f·g)’ = f’·g + f·g’ . Achtung Die Ableitung des Produktes ist im Allgemeinen nicht das Produkt der Ableitungen! Denn mit f(x) = x 2 und g(x) = x 3 erhält man (f·g)(x) = x 2 ·x 3 = x 5 und (f·g)’(x) = 5x 4 . Hingegen ist f’(x)·g’(x) = 2x·3x 2 = 6x 3 . B eine Potenz funktion mit negativem Exponenten ableiten : B B : B, C , B eine Wurzelfunktion ableiten , B Produkt von Funktionen Produktregel Differentialrechnung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv