Mathematik anwenden HUM 4, Schulbuch

23 Polynomfunktionen sind Summen von Vielfachen von Potenzfunktionen. Da wir die Ableitung von Potenzfunktionen schon kennen, können wir daher deren Ableitung mithilfe der Summenre gel und der Faktorregel berechnen: Die Ableitung der Polynomfunktion f mit f(x) = c n x n + c n – 1 x n – 1 + … + c 2 x 2 + c 1 x + c 0 ist die Polynomfunktion f’ mit f’(x) = n·c n x n – 1 + (n – 1)·c n – 1 ·x n – 2 + … + 2·c 2 x + c 1 . Die Ableitung einer Polynomfunktion mit Grad n > 0 ist somit eine Polynomfunktion mit Grad n – 1. Beispiele: Die lineare Funktion f mit f(x) = k·x: Wir wissen bereits, dass diese Funktion die Steigung k besitzt. Da die Ableitung an der Stelle x die Steigung von f an der Stelle x beschreibt, muss f’(x) = k sein. Man gelangt zu diesem Resultat auch mithilfe der Potenzund Faktorregel. Da f(x) = k·x 1 ist, ist f’(x) = k·1·x 0 = k. Die konstante Funktion f mit f(x) = c: Da jede konstante Funktion die Steigung 0 besitzt, ist die Ableitung f’ mit f’(x) = 0. Auch dieses Resultat erhält man aus Potenzund Faktorregel. Da f(x) = c·x 0 ist, ist f’(x) = c·0·x – 1 = 0. GeoGebra Ableitung[ <Ausdruck> , <Variable> ] oder Funktion ’(x) TI Nspire derivative( Ausdr , Var ) 64 Berechne die Ableitung der Polynomfunktion f mit f(x) = ‒2x 3 – 4x 2 + 5x + 4. Die Polynomfunktion ist eine Summe von Vielfachen von Potenzfunktionen. Mithilfe der Summenund Faktorregel erhalten wir f’(x) = 3·(‒ 2)x 2 – 2·4x + 5·1 + 0, also f’(x) = ‒ 6x 2 – 8x + 5. 65 Ermittle die Ableitung der Polynomfunktion f. a. f(x) = 3x 2 + 7x – 4 c. f(x) = 2x 3 – 4x 2 + 2x – 5 b. f(x) = ‒ x 2 + 5x + 1 d. f(x) = ‒ x 3 + 3x 2 – 5x 66 Bestimme die Ableitung der Polynomfunktion p. a. p(x) = 3x 3 + 2x 2 + x b. p(x) = 2x 4 +   3 _ 2 x 2 – 1 c. p(x) =   5 _ 8 x 8 + 3x 2 67 Ordne den Funktionen ihre Ableitung an der Stelle a zu. a. f mit f(x) = ‒ 3x 2 + 5x – 2 A f’(a) = ‒ 3 B f’(a) = ‒ 3a + 5 b. f mit f(x) = ‒ 3x + 5 C f’(a) = ‒ 6a + 5 D f’(a) = ‒ 6a 2 + 5a Ableitung von Polynom funktionen Ableitung berechnen ggb/tns um8sm4 B eine Polynom funktion ableiten B : : B B, C , 1.3 Ableitungsregeln Nur zu P üfzwecken – Eigentum des Verlags öbv