Mathematik anwenden HUM 4, Schulbuch

22 1.3 Ableitungsregeln Ich lerne Potenzfunktionen und dann mithilfe der Summenund Faktorregel Polynom­ funktionen abzuleiten. Ich lerne die Exponentialfunktionen und die natürliche Logarithmusfunktion abzuleiten. Ich lerne die Produkt, Quotientenund Kettenregel zur Bestimmung der Ableitungsfunktion anzuwenden. Im vorigen Abschnitt haben wir gelernt die Ableitungsfunktion f’ an einer Stelle a zu berechnen, indem wir den Grenzwert ​lim    b ¥ a ​  f(b) – f(a) __  b – a  ​ ermitteln. Die Berechnung eines Grenzwertes ist relativ aufwendig. Schneller und einfacher geht es, wenn wir f’ mithilfe von Ableitungsregeln berechnen. Ableitung von Potenz und Polynomfunktionen Bereits im ersten Jahrgang haben wir die folgende binomische Formel kennengelernt: (b – a)(b + a) = b 2 – a 2 Es ist leicht nachzurechnen, dass für jede natürliche Zahl n (b – a)(b n – 1 + b n – 2  a + b n – 3  a 2 + … + ba n – 2 + a n – 1 ) = (b n – a n ) ist. Daher ist ​lim    b ¥ a ​  ​b​ n ​– ​a​ n ​ _  b – a  ​= ​lim  b ¥ a ​(​b​ n – 1​ ​+ ​b​ n – 2​ ​a + … + ​a​ n – 1​ ​) = a n – 1 + a n – 1 + … + a n – 1 = n·a n – 1 . Man kann zeigen, dass das auch dann gilt, wenn n eine beliebige reelle Zahl ist. Für jede reelle Zahl n ist die Ableitung der Potenzfunktion f mit f(x) = ​x​ n ​ (zumindest für positive Zahlen x) die Funktion f’ mit f’(x) = n·​x​ n – 1 ​ . Mit Funktionen mit demselben Definitionsund Wertebereich kann man rechnen. Wir können das benutzen, um die Ableitungen vieler weiterer Funktionen zu bestimmen. Sind f und g reellwertige Funktionen mit demselben Definitionsbereich D, dann ist f + g die Funktion von D nach R mit (f + g)(x) = f(x) + g(x) und heißt Summe von f und g . Die Differenz der Funktionen f und g ist die Funktion f – g mit (f – g)(x) = f(x) – g(x). Ist c eine reelle Zahl, dann ist c·f die Funktion mit (c·f)(x) = c·f(x) und heißt das cFache von f . Man kann zeigen: Sind f und g differenzierbare Funktionen, dann ist auch ihre Summe f + g und ihre Differenz f – g differenzierbar. Es ist (f + g)’ = f’ + g’ und (f – g)’ = f’ – g’. („Die Ableitung der Summe ist die Summe der Ableitungen.“) Ist c eine reelle Zahl und f eine differenzierbare Funktion, dann ist auch das cFache c·f von f differenzierbar und (c·f)’ = c·f’. („Die Ableitung des cFachen ist das cFache der Ableitung.“) Ableitung einer Potenzfunktion Summe von Funktionen Differenz von Funktionen Vielfache von Funktionen Summenregel Faktorregel Differentialrechnung Nur zu Prüfzwecken – Eigent m des Verlags öbv