Mathematik anwenden HUM 4, Schulbuch

21 Was habe ich in diesem Abschnitt gelernt? Ich kann den Differenzenquotient berechnen und ihn sowohl als mittlere Änderungsrate als auch als Sekantensteigung interpretieren. 59 St. Anton am Arlberg ist ein bekannter Wintersportort. Auf der Homepage der Gemeinde finden sich folgende historische Bettenzahlen: Jahr 1956 1975 1985 1995 Anzahl Betten 1700 5658 7325 8500 a. Berechne die mittlere Änderungsrate der Bettenzahl zwischen 1956 und 1975 sowie zwischen 1985 und 1995. b. Vergleiche diese beiden Änderungsraten und interpretiere die Unterschiede. 60 Aufgrund der sogenannten Alterssichtigkeit nimmt die minimale Entfernung, in der man gerade noch scharf sehen kann, im Alter zu. Diese minimale Sehweite (in cm) lässt sich annähernd durch die Funktion f mit f(x) = ​  95 __  1 + 37·​e​ ‒0,06x​ ​ ​beschreiben. Dabei steht x für das Alter in Jahren. a. Berechne, um wie viel Zentimeter sich die minimale Sehweite zwischen dem 40. und dem 50. Lebens­ jahr im Durchschnitt pro Jahr vergrößert. b. Zeichne im abgebildeten Graphen die Sekante durch die Punkte A und B. Lies ihre Steigung ab und interpretiere diese Zahl im Sachzusammenhang. Ich kann zwischen Durchschnittsgeschwindigkeit und Momentangeschwindigkeit unterscheiden und diese berechnen. 61 Der zurückgelegte Weg eines Fahrzeuges (in m) kann durch das nebenstehende ZeitWegDiagramm beschrieben werden. a. Ermittle die Durchschnittsgeschwindigkeit dieses Fahrzeugs im Zeitintervall 1 s bis 6 s und veranschauliche diese Durchschnitts­ geschwindigkeit in der Grafik. b. Zeichne die Tangente im Punkt P = (3 1 s(3)) in das Diagramm ein und erkläre die Bedeutung der Steigung dieser Tangente im Sachzusammenhang. Ich kann den Differentialquotienten als Grenzwert des Differenzenquotienten berechnen und ihn sowohl als lokale Änderungsrate als auch als Tangentensteigung interpretieren. 62 Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x 2 . a. Berechne den Differentialquotienten f’(a) als Grenzwert des Differenzenquotienten an der Stelle a. b. Berechne anschließend die lokale Änderungsrate der Funktion f an der Stelle 3. 63 Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x 2 + 2x + 3. Kreuze an, welche der fünf Zahlen die Steigung der Tangente an f im Punkt (4 1 f(4)) ist. A  ​  f(4) _  4  ​ B  ​  f(4) – f(0) __ 4 – 0  ​ C  ​  f(4) – f(3) __ 4 – 3  ​ D  ​lim  b ¥ 0 ​  f(b) – f(4) __ b – 4  ​ E  ​lim  b ¥ 4 ​  f(b) – f(4) __ b – 4  ​ B, C Alter in Jahren minimale Sehweite in cm 0 10 20 30 40 50 60 70 60 50 40 30 20 10 0 s A B B, C Zeit in Sekunden Weg in Meter 0 10 20 30 40 50 60 70 7 6 5 4 3 2 1 0 s B, C B C 1.2 Differenzenquotient und Differentialquotient Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des V rlags öbv