Mathematik anwenden HUM 4, Schulbuch

b. Die Nullstelle von E’ liegt bei 1000ME. Da E’(1000) = 0 ist, ist der Erlös bei 1000ME maximal. c. Die Schnittstelle gibt jene Produktionsmenge an, für die der Gewinn maximal wird. d. G mit G(x) = ‒0,14x 2 + 140x – 5000 [Aus E’ erhalten wir die Erlösfunktion E mit E(x) = ‒0,08x 2 + 160x, aus K’ die Kostenfunktion K mit K(x) = 0,06x 2 + 20x + c. Da K(0) = 5000, ist c = 5000 und K(x) = 0,06x 2 + 20x + 5000. Die Gewinnfunktion ist G = E – K = = ‒0,08x 2 + 160x – (0,06x 2 + 20x + 5000) = ‒0,14x 2 + 140 x – 5000.] e. 30000GE [G’(x) = ‒0,28x + 140 mit der Nullstelle 500. G(500) = 30000.] 531. a. b. (450 Stück 1 30€/Stück) c./d. e. 532. Konsumentenrente: 5000GE; Produzentenrente: 5333,33GE [Die erste Koordinate des Marktgleichgewichts ist die positive Lösung x = 400 der Gleichung ​  1 _  8000 ​ ​x​ 2 ​+ 5 = ‒​  1 _  16 ​x + 50. Die zweite Koordinate ist p N (400) = p A (400) = 25, also ist das Marktgleich­ gewicht bei (400ME 1 25GE/ME). Konsumentenrente: ​  :  0 ​  400 ​  ​ 2  ​ 2 ‒​  1 _  16 ​x + 50  3 ​– 25  3 ​dx​= 5000, Produzentenrente: ​  :  0 ​  400 ​  ​ 2  25 – ​ 2  ​  1 _  8000 ​ ​x​ 2 ​+ 5  3 ​  3 ​dx​= 5333,33.] 533. 3,84, das heißt, die Bank hat an diesem Tag 384000€ eingenommen. ​ 4  ​  :  0 ​  24 ​  (0,002​ t​ 3 ​– 0,036​ t​ 2 ​– 0,32t + 4)dt​ ​ ​= 3,84. Da der Zahlungsstrom in der Einheit 100000€/h angegeben wurde, ist das Ergebnis 3,84·100000€ = 384000€.] 5 Wahrscheinlichkeitsrechnung 5.1 Was ist Stochastik? 549. a. Wasser gefriert ab 0°C. Der Zustand von Wasser bei ‒15°C ist also Eis. Der Zustand ist nicht vom Zufall gelenkt. b. Der Höhe eines Gewinns kann nicht vorhergesagt werden. Der Gewinn ist vom Zufall gelenkt. c. Es handelt sich um einen Zustand in der Vergangenheit, der fest­ gestellt werden kann. Die Anzahl ist nicht vom Zufall gelenkt. d. Es handelt sich um einen Zustand in der Zukunft, der nicht vor­ hergesagt werden kann. Die Anzahl ist vom Zufall gelenkt. 5.2 Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung 589. Grundmenge: {KKK, KKZ, KZK, ZKK, ZZK, ZKZ, KZZ, ZZZ} a. {ZZK, ZKZ, KZZ} b. {ZZK, ZKZ, KZZ, ZZZ} c. {ZZZ} d. {  } 590. Sie hat nicht recht, denn wenn man sehr oft würfelt, wird ungefähr ​  1 _ 6 ​der Würfe ein Sechser sein. 591. a. ​  2 _ 9 ​ ​ 4  Insgesamt gibt es 36mögliche WurfErgebnisse. Die Augen­ summe 7 entspricht den Würfen (1, 6), (6, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 4), (4, 3). Die Augensumme 11 entspricht den Würfen (5, 6), (6, 5). Die Wahrscheinlichkeit ist daher ​  6 _  36  ​+ ​  2 _  36  ​= ​  8 _  36  ​= ​  2 _ 9 ​ .  5 ​ b. ​  1 _ 9 ​ ​ 4 Die Augensumme 2 entspricht dem Wurf (1, 1), die Augen­ summe 3 den Würfen (1, 2), (2, 1), die Augensumme 12 dem Wurf (6, 6). Die Wahrscheinlichkeit, sofort zu verlieren, ist daher ​  1 _  36 ​+ ​  2 _  36 ​+ ​  1 _  36 ​= ​  4 _  36  ​= ​  1 _ 9 ​ .  5 ​ 592. 0,12 [P(Augensumme 8 1 kein Sechser gewürfelt) = = ​  P(kein Sechser und Augensumme 8) _____  P(kein Sechser)  ​= ​  ​  3 _  36 ​ _ ​  25 _ 36 ​ ​= ​  3 _  25 ​= 0,12] 593. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte weibliche Person sich vegetarisch ernährt, beträgt 11%. 594. a. unabhängig, denn P(A) = P(A 1 B) = ​  1 _ 2 ​ [Es gibt 36mögliche Ausgänge (siehe Grafik Seite 37). P(A) = ​  18 _  36 ​= ​  1 _ 2 ​ , P(A 1 B) = ​  9 _  18  ​= ​  1 _ 2 ​ . Also ist P(A) = P(A 1 B) und somit sind A und B unabhängig.] b. abhängig, denn P(A) = ​  3 _ 4 ​aber P(A 1 B) = ​  1 _  2 ​ ​ 4 P(A) = ​  27 _ 36 ​= ​  3 _  4 ​, P(A 1 B) = ​  9 _  18 ​= ​  1 _ 2 ​  5 ​ 5.3 Vierfeldertafel und Baumdiagramm 617. a. b. 6% c. 54,54%, das ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausge­ wählter Angestellter, der Russisch spricht, auch Französisch spricht. 618. a. Ziehen ohne Zurücklegen, da sich die Anzahl der Kugeln von Ziehung zu Ziehung verringert. b. 10 rote und 5 blaue Kugeln c. Die Wahrscheinlichkeit, insgesamt zwei rote und eine blaue Kugel zu ziehen. d. Die Wahrscheinlichkeit, mindestens eine rote Kugel zu ziehen. 619. a. b. P(0 Sechser) = 0,579 [P(0 Sechser) = ​  5 _ 6 ​·​  5 _  6 ​·​  5 _ 6 ​= 0,579] P(1 Sechser) = 0,347 [P(1 Sechser) = ​  1 _ 6 ​·​  5 _ 6 ​·​  5 _ 6 ​+ ​  5 _  6 ​·​  1 _ 6 ​·​  5 _ 6 ​+ ​  5 _  6 ​·​  5 _ 6 ​·​  1 _ 6 ​= 0,347] Produktionsmenge x in Stück Preis in €/Stück 0 200 600 800 400 0 10 20 30 40 50 p N p A Produktionsmenge x in Stück Preis in €/Stück 0 200 600 800 400 0 10 20 30 40 50 Produzenten­ rente Konsumenten­ rente p A p N Produktionsmenge x in Stück Preis in €/Stück 0 200 600 800 400 0 10 20 30 40 50 Erlös p A p N MG Produktionsmenge x in Stück Preis in €/Stück 0 10 20 30 40 50 500 400 600 700 800 300 200 100 0 Produzenten­ rente = 5333,33 Konsumenten­ rente = 5000 p A p N F F C Summe R 0,06 0,05 0,11 R C 0,3 0,59 0,89 Summe 0,36 0,64 1 1 6 1 6 1 6 5 6 1 6 5 6 1 6 5 6 1 6 5 6 5 6 1 6 5 6 5 6 S K S S S K S K K K S K S K 207  Lösungen zu „Was habe ich gelernt?“ Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv