Mathematik anwenden HUM 4, Schulbuch

396. a. 958GE/ME [p A (50) = 958] b. 60ME [‒8,97x + 1000 = 461,80 w x = 60] c. 40ME zu 641,20GE/ME [0,36x 2 – 0,72x + 94 = ‒8,97x + 1000 0,36x 2 + 8,25 – 906 = 0 Diese Gleichung hat die Lösungen ‒62,92 und 40. p N (40) = p A (40) = 641,20] 397. ε = ‒2,059, elastische Nachfrage [relative Änderung der Nachfrage:   63 – 35 _ 35  = 0,8, relative Änderung des Preises:   2,99 – 4,89 __ 4,89  ≈ ‒0,38855; ε =   0,8 __  ‒0,38855 ≈ ‒2,059. †ε† = 2,059 > 1 w elastische Nachfrage.] 398. a. ε = ‒2 [Aus p N (x) = 600 folgt ‒0,3x + 900 = 600 und somit x = 1000. Mit p N ’(x) = ‒0,3 erhalten wir ε =   p N (1000) __ 1000  : p N ’(1000) = =   600 _  1000 : (‒0,3) = ‒2.] b. Die Preissenkung um 1% bewirkt, dass die Nachfrage um †ε† % = 2% steigt. 399. a. Gewinnbereich: 186 Stück bis 5983 Stück [Es ist E(x) = 160x – 0,02x 2 und somit G(x) = E(x) – K(x) = = ‒0,000003x 3 – 0,025x 2 + 80x – 15000. G hat die Nullstellen ‒4502,54, 185,59 und 5983,62. Der Break-Even-Point wird aufgerundet zu 186 Stück, die Gewinngrenze abgerundet zu 5983 Stück.] b. C ≈ (3588 1 88,24) [G’(x) = ‒0,000009x 2 – 0,05x + 80. G’ hat die Nullstellen ‒2477,19 und 3588,30 ≈ 3588. p N (3588) = 88,24.] c. Um den maximalen Gewinn zu erzielen, müssen 3588 Stück produziert und zu 88,24€/Stück verkauft werden. 4 Integralrechnung 4.1 Das unbestimmte Integral 436. F ist eine Stammfunktion von f, weil F’(x) = 12x 2 – 14x + 5 = f(x) ist. 437. G(x) = F(x) – 10. Also ist G’(x) = F’(x). 438. a. 5x 4 + 4x 3 + 2x 2 – x + c b.   x 6 _  6 –   3 _ 5 x 5 +   5 _ 4 x 4 –   2 _ 3 x 3 +   3 _ 2 x 2 + 8x + c 439. F mit F(x) = 3x 4 – 3x 3 + 4x 2 – 4x + 10 [Eine Stammfunktion von f ist F mit F(x) = 3x 4 – 3x 3 + 4x 2 – 4x + c. Mit F(1) = 10 erhalten wir 3 – 3 + 4 – 4 + c = 10, also c = 10.] 440. a. x 3 + ln(x) + c c.   1 _ 4 ·e 4z + c e.   1 _  ln(7)  ·7 t + c b.   1 _ 4 ln(x) + c d. ‒  1 _ 5 ·e ‒5z + c 4.2 Das bestimmte Integral 492. a. / b. b. U = 6,6; O = 12,6 c. Der Flächeninhalt beträgt zwischen 6,6 und 12,6 Flächeneinheiten. 493. a. negativ b. positiv c. positiv d. positiv e. negativ 494. 19,52 Flächeneinheiten [Die Nullstellen von f sind ‒3, 1 und 4. Eine Stammfunktion von f ist F mit F(x) =   1 _  16 x 4 –   1 _ 6 x 3 –   11 _  8 x 2 + 3x. Daraus erhalten wir die beiden Teilflächen: A 1 = |  :  ‒3   1 f(x)dx  | = † F(1) – F(‒3) † = |    73 _ 48 – 2 ‒  189 _ 16    3   | =   40 _ 3  A 2 = |  :  1   4 f(x)dx  | = † F(4) – F(1) † = |  2 ‒  14 _ 3    3 –   73 _ 48   | =   99 _ 16 A = A 1 + A 2 =   937 _ 48  ≈ 19,52] 495. 14,8 Flächeneinheiten [Die Schnittstellen der beiden Funktionen sind ‒2, 2 und 4. Eine Stammfunktion von f – g ist F = :    (0,3x 3 – 1,2x 2 – 1,2x + 4,8)dx, also F(x) = 0,075x 4 – 0,4x 3 – 0,6x 2 + 4,8x. Somit ist A 1 = |  :  ‒2   2 (f(x) – g(x))dx  | = † F(2) – F(‒2) † = † 5,2 – (‒7,6) † = 12,8 A 2 = |  :  2   4 (f(x) – g(x))dx  | = † F(4) – F(2) † = † 3,2 – (‒5,2) † = 2. A = A 1 + A 2 = 14,8.] 496. 250m [Es ist s = :    v(t)dt, also s(t) = ‒0,01t 3 + 0,6t 2 und s(50) = 250.] 497. 2kW [  1 _  18 – 6 · :  6   18 2 ‒  1 _  12  x 2 + 2x – 9  3 dx=   1 _  12 · 2 ‒  1 _  36 x 3 + x 2 – 9x  3   1 6   18 = =   1 _  12 ·(0 – (‒24)) = 2.] 498. 3,25m [Die Fläche unter dem Graphen kann in drei Trapeze und zwei Rechtecke unterteilt werden: A 1 =   (1 + 3)·1 __ 2  = 2, A 3 =   (3 + 4)·1 __ 2  = 3,5, A 5 =   (4 + 1)·3 __  2  = 7,5 A 2 = 3·2 = 6, A 4 = 4·5 = 20 Daher ist die Gesamtfläche 2 + 3,5 + 7,5 + 6 + 20 = 39 und der durch schnittliche Pegelstand somit   1 _  12 – 0 ·39 = 3,25.] 4.3 Wirtschaftliche Anwendungen der Integralrechnung 529. a. E’ mit E’(x) = ‒24x + 840 [Es ist E’ eine lineare Funktion, also E’(x) = ax + b. Aus E’(10) = 600 und E’(30) = 120 erhalten wir das lineare Gleichungssystem I) 10a + b = 600 II) 30a + b = 120 mit der Lösung a = ‒24, b = 840.] b. E mit E(x) = ‒12x 2 + 840x [Eine Stammfunktion von E’ ist E mit E(x) = ‒12x 2 + 840x + c. Da E(0) = 0 sein muss, ist c = 0.] c. p mit p(x) = ‒12x + 840 [Da E(x) = p(x)·x, ist p(x) =   E(x) _ x  = ‒12x + 840.] 530. a. E’ mit E’(x) = ‒0,16x + 160 und K’ mit K’(x) = 0,12x + 20 [Aus der Zeichnung können wir ablesen, dass E’(0) = 160 und E’(1000) = 0 ist. Daraus erhalten wir mit E’(x) = a x + b das Gleichungssystem I) b = 160 II) 1000a + b = 0 mit der Lösung a = ‒0,16, b = 160 und somit E’(x) = ‒0,16x + 16. Ebenso erhalten wir aus der Grafik für K’(x) = ax + b das Gleichungssystem I) b = 20 II) 1000a + b = 140 mit der Lösung a = 0,12, b = 20.] x y 1 0 2 3 2 0 4 6 8 f Untersumme x y 1 0 2 3 2 0 4 6 8 f Obersumme x y 0 2 2 4 2 2 4 f g Zeit in Stunden Pegelstand in m 2 3 1 4 5 7 6 8 9 10 11 12 0 1 0 2 3 4 A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 206 Anhang Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv