Mathematik anwenden HUM 4, Schulbuch

277. a. x … horizontale Entfernung in m von der Wasserdüse; f(x)… Höhe des Wasserstrahls über dem Boden in m; f mit f(x) = ‒0,433x 2 +1,732x b. Der Mann müsste kleiner sein als der Funktionswert der Funk­ tion f an der Maximumstelle. Zur Berechnung des Hochpunktes wird f’ berechnet. Die Funktion f’ mit f’(x) = ‒0,866x + 1,732 hat genau eine Nullstelle, nämlich 2. Wegen f’’(2) < 0 ist 2 die einzige Maximumstelle. Wegen f(2) = 1,73 ist (2 1 1,73) ein Hochpunkt von f. Daher muss sich ein 1,80m großer Mann bücken, um nicht nass zu werden. 278. 279. Die zweite Ableitung von f ist die Funktion f’’ mit f’’(x) = 2 > 0. Die Funktion f ist daher überall linksgekrümmt. 280. Die Funktion f besitzt an der Stelle ‒2 einen Wendepunkt. Weil f’’(x) < 0 für x < ‒2 ist, ist die Funktion auf (‒ • ; ‒2) rechtsgekrümmt. Weil f’’(x) > 0 für alle x > ‒2 ist, ist die Funktion auf (‒2; • ) linksgekrümmt. [Es ist f’(x) = 1·e x + x·e x = (1 + x) ·e x und f’’(x) = (1)·e x + (1 + x)·e x = = (2 + x)·e x . Die Gleichung f’’(x) = 0 hat die Lösung x = ‒2.] 281. (3 1 1) Die erste Ableitung von f ist die Funktion f’ mit f’(x) = ​  2 _ 9 ​x 2 – ​  4 _ 3 ​x, die zweite Ableitung ist die Funktion f’’ mit f’’(x) = ​  4 _ 9 ​x – ​  4 _ 3 ​ . Die einzige Nullstelle von f’’ ist 3, wegen f’’’(3) = ​  4 _ 9 ​> 0 ist 3 eine Wendestelle und (3 1 f(3)) = (3 1 1) ein Wendepunkt. 282. Nein, (‒4 1 0) ist kein Wendepunkt der Funktion f, weil f’’ mit f’’(x) = x 2 ·​e​ x ​+ 2·​e​ x ​+ 4x·​e​ x ​und f’’(‒4) = ​  2 _  ​e​ 4 ​ ​≠ 0 ist. 3 Kostenund Preistheorie 3.1 Kostentheorie 339. a. progressiv b. degressiv c. linear d. ertragsgesetzlich 340. a. B b. C 341. a. 180GE/ME [Aus K’(x) = 1,8x 2 – 40x + 400 erhalten wir K’(10) = 180.] b. 360GE/ME [Aus ​ _ K​(x) = 0,6x 2 – 20x + 400 + 1000x ‒1 erhalten wir ​ _ K​(10) = 360.] 342. D 343. Das Betriebsoptimum ​x​ BO ​ist die Minimumstelle der Durchschnitts­ kostenfunktion ​ _ K​. Bei der Produktion von ​x​ BO ​ME fallen die geringsten Kosten pro ME an. Das Betriebsminimum ​x​ BM ​ist die Minimumstelle der variablen Durschnittskostenfunktion ​ _ ​K​ v ​. Bei der Produktion von ​x​ BM ​ME fallen die geringsten durchschnittlichen variablen Kosten pro ME an. 344. Betriebsoptimum: 25ME [​ _ K​(x) = 0,04x 2 – 0,48x + 64 + 950x ‒1 , ​ _ K​’(x) = 0,08x – 0,48 – 950x ‒2 . Die Nullstelle von ​ _ K​’ ist x BO = 25.] Betriebsminimum: 6ME [​ _ K​ v ​(x) = 0,04x 2 – 0,48x + 64, ​ _ K​ v ​’(x) = 0,08x – 0,48. Die Nullstelle von ​ _ K​ v ​’ ist x BM = 6.] 345. Betriebsminimum: 150ME; Betriebsoptimum: 200ME 346. a. b. x BO = 25ME; x BM = 13,5ME 347. K mit K(x) = 0,001x 3 – 0,09x 2 + 21x + 1100 [Aus der Angabe erhält man: K’’(30) = 0, K(30) = 1676, K’(30) = 18,3 und ​ _ K​ (50) = 41. Es ist K(50) = 50·​ _ K​ (50) = 2050. Für K mit K(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d erhalten wir daraus das Gleichungssystem I) 6a·30 + 2b = 0 II) a·30 3 + b·30 2 + c·30 + d = 1676 III) 3a·30 2 + 2b·30 + c = 18,3 IV) a·50 3 + b·50 2 + c·50 + d = 2050. Als Lösung erhalten wir a = 0,001, b = ‒0,09, c = 21, d = 1100. Daher ist die Kostenfunktion K mit K(x) = 0,001x 3 – 0,09x 2 + 21x + 1100.] 3.2 Preistheorie 393. a. 2,25€/kg bei 200kg [​ _ K​(x) = 0,00005x 2 – 0,0175x + 3,25 + 100x ‒1 ; ​ _ K​’(x) = 0,0001x – 0,0175 – 100x ‒2 . Die Nullstelle von ​ _ K​’ ist x BO = 200, ​ _ K​(200) = 2,25.] b. 1,72€/kg bei 175kg [​ _ K​ v ​(x) = 0,00005x 2 – 0,0175x + 3,25; ​ _ K​ v ​’(x) = 0,0001x – 0,0175. Die Nullstelle von ​ _ K​ v ​’ ist x BM = 175, ​ _ K​ v ​(175) = 1,72.] c. Wenn der Marktpreis gleich der langfristigen Preisuntergrenze ist, dann arbeitet der Betrieb nur dann kostendeckend, wenn die Produktionsmenge genau dem Betriebsoptimum entspricht. Das Betriebsoptimum liegt bei 200kg, es werden aber 100kg produziert. Der Bäcker arbeitet daher nicht kostendeckend. d. Der Betrieb arbeitet nicht kostendeckend, da der Verkaufspreis unter der langfristigen Preisuntergrenze liegt. Ob die variablen Kosten gedeckt sind, hängt von der produzierten Menge ab. 394. a. 49500€ [Mit E(x) = 990x erhalten wir E(50) = 49500.] b. 7750€ [Mit G(x) = E(x) – K(x) = ‒0,23x 3 + 36,7x 2 – 1085x – 1000 erhalten wir G(50) = 7750.] c. 8750€ [Mit D(x) = E(x) – K v (x) = ‒0,23x 3 + 36,7x 2 – 1085x erhalten wir D(50) = 8750.] 395. a. p A (1000) = 500. Der Betrieb ist bereit, 1000 Electroscooter zu produzieren und zu verkaufen, wenn der Marktpreis 500€/Stück beträgt. b. p N (x) = ‒0,5x + 1500 [Aus p N (0) = 1500 und p N (3000) = 0 erhalten wir mit p N (x) = ax + b das Gleichungssystem I) b = 1500 II) a·3000 + b = 0 mit der Lösung a = ‒0,5, b = 1500. Daher ist p N (x) = ‒0,5x + 1500.] c. Der Gleichgewichtspreis ist die zweite Koordinate des Schnitt­ punkts der Graphen von p A und p N  . x y 0 4 2 2 2 2 4 rechts­ gekrümmt f x in ME K(x) in GE 0 3000 6000 9000 12000 15000 18000 150 120 180 210 240 90 60 30 0 K BO BM x in ME K‘(x), K(x), K V (x) in GE/ME 0 40 80 120 160 200 35 30 25 20 15 10 5 0 K K’ K V (25 1 108) (13,5 1 79,71) 205  Lösungen zu „Was habe ich gelernt?“ Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv