Mathematik anwenden HUM 4, Schulbuch

261. a. x… Alter in Jahren; b(x) … Bestzeit in Sekunden; b mit b(x) = ‒5,7x + 256,3; r = ‒0,91 [Für die Zahlenpaare (14 1 183), …, (20 1 148) erhalten wir mit Technologieeinsatz die lineare Regressionsfunktion b mit b(x) = ‒5,7x + 256,3.] b. Da † r † > 0,8 ist, sind Alter und Bestzeit stark korreliert. c. Ein solches Modell erscheint nicht sinnvoll, denn nach dem Modell würde das Lauftalent die 1000m lange Strecke im Alter von zum Beispiel 45 Jahren in b(45) = ‒0,2 s, also unter 0 Sekunden laufen. Analysis 262. A , D B f ist an den Stellen ‒3, ‒2 usw. nicht stetig. C f ist an der Stelle 1 nicht stetig. 263. a. Anhand des Graphen von f sehen wir, dass man diesen an der Stelle 3 nicht in einem Zug zeichnen kann, ein Grenzwert existiert dort daher nicht. b. Anhand des Graphen vermuten wir, dass ein Grenzwert an der stelle ‒4 existiert und ungefähr ‒8 ist. lim     x ¥ ‒4   x 2 – 16 _ x + 4  = lim     x ¥ ‒4   (x – 4)(x + 4) __ x + 4  = = lim    x ¥ ‒4 (x – 4) = ‒4 – 4 = ‒8 264. a. b. Die Körpermasse hat ausgehend von 70kg ständig zugenommen und nach einem Jahr 79,96kg erreicht. c. Da 0,985 x für große x immer kleiner wird und gegen 0 strebt, strebt auch 10·0,985 x gegen 0. Die Körpermasse strebt daher für große x gegen die Masse 80kg. 265. a. b. Die Steigung der Tangente gibt die momentane Geschwindigkeit des Fahrzeuges zum Zeitpunkt t 0 in m/s an. 266. a. 1,143 4    10 – 2 _ 8 – 1  =   8 _ 7 ≈ 1,143  5 b. Die Steigung gibt die mittlere Beschleunigung in m/s 2 zwischen 1 und 8 Sekunden an. 267. a. zwischen 1980/81 und 1990/91: 355,3 Schüler/innen pro Jahr; zwischen 2010/11 und 2015/16: ‒367 Schüler/innen pro Jahr 4    14279 – 10726 __ 10  = 355,3,   26895 – 28730 __ 5  = ‒367  5 b. Zwischen 1980/81 und 1990/91 hat die Schülerzahl im Durchschnitt um 355,3 Schüler/innen pro Jahr zugenommen. In den Jahren von 2010/11 bis 2015/16 um durchschnittlich 367 Schüler/innen pro Jahr abgenommen. 268. a. 0,5; Im Streckenabschnitt zwischen 20m und 50m horizontaler Entfernung hat die Bahn eine durchschnittliche Steigung von 50%. [Wir lesen h(50) ≈ 50 und h(20) ≈ 35 ab. Daher ist der Differenzenquotient   50 – 35 _ 50 – 20 = 0,5.] b. Weillim    b ¥ 20   h(b) – h(20) __ b – 20  = h’(20) ist, hat der Konstrukteur die Steigung der Hochschaubahn an der Stelle 20 berechnet. 269. D 270. a. C ; Produktregel und Kettenregel: f’ mit f’(x) = 1·e ‒x + x·(‒1)·e ‒x = e ‒x – x·e ‒x b. B ; Quotientenregel: f’ mit f’(x) =   1·(1 + x 2 ) – x·2x ___  (1 + x 2 ) 2 =   1 – x 2 __  (1 + x 2 ) 2 c. C ; Kettenregel: f’ mit f’(x) = 2x·e x 2 + 2 271. a. C b. B 272. a. b. Die Aufmerksamkeit der Zuhörer nimmt in den ersten 10min zu (Funktionswerte der Ableitung positiv, Graph der Funktion mono ton wachsend). Dann nimmt die Aufmerksamkeit der Zuhörer zwischen 10min und ca. 45min ab (Funktionswerte der Ablei tung negativ, Graph der Funktion monoton fallend). Nach ca. 45 steigt die Aufmerksamkeit wieder (Funktionswerte der Ableitung positiv, Graph der Funktion monoton wachsend). 273. a. Das Fahrzeug hat zunächst zwischen 0 und 5 Fahrsekunden eine positive Beschleunigung, das heißt, es wird schneller. Nach 5 Fahrsekunden hat es eine negative Beschleunigung, das heißt, es wird langsamer. b. Das Fahrzeug hat seine maximale Geschwindigkeit nach 5 Fahrsekunden erreicht, weil dort die Beschleunigungsfunktion eine Nullstelle hat. 274. 275. Zunächst berechnet man die erste Ableitung f’. Extremstellen von f müssen Nullstellen von f’ sein. Wenn a eine Nullstelle von f’ ist und f’’(a) > 0 ist, dann ist a eine Minimumstelle und (a 1 f(a)) ein Tief punkt von f. Ist f’’(a) < 0, dann ist a eine Maximumstelle. Ist aber f’’(a) = 0, dann muss untersucht werden, ob f’(x) für x in einer kleinen Umgebung von a für x < a und für x > a verschiedene Vorzeichen hat. Wenn ja, ist a eine Minimumstelle. 276. a. C b. B x y 0 8 8 8 8 f x y 0 8 8 8 8 f Zeit in Tagen Körpermasse in kg 65 70 75 80 85 360 320 280 240 200 160 120 80 40 0 f Zeit in s Weg in m 2 0 4 6 10 12 14 8 0 2 4 6 8 10 s t 0 Zeit in min Aufmerksamkein in % 10 0 20 30 50 60 40 0 20 40 60 80 100 f f’ x y 0 2 2 4 2 2 4 f 204 Anhang Nur zu Prüfzwecken – Eigentum de Verlags öbv