Mathematik anwenden HUM 4, Schulbuch

190 Anhang Integralrechnung Flächenberechnung Wir wollen den Inhalt der Fläche, die von den Graphen der Funktionen f mit f(x) = x 3 + x 2 – 6x – 2 und g mit g(x) = x 2 – 2x – 2 eingeschlossen wird, graphisch darstellen und berechnen. Zunächst geben wir in der Eingabezeile beide Funktionen ein: und Im Grafikfenster erscheinen jetzt die Graphen von f und g und wir bestimmen mithilfe des „Schneide“Werkzeugs die Schnittpunkte der beiden Graphen. Die Schnittpunkte werden im AlgebraFenster angezeigt. Die beiden Teilflächen können wir mithilfe des Befehls IntegralZwischen[ <Funktion> , <Funktion> , <Startwert> , <Endwert> ] bestimmen. Wir erhalten die beiden Zahlen A 1 = 4 und A 2 = ‒ 4. Beachte, dass von GeoGebra die Fläche A 2 negativ ausge geben wird, da für alle x im Intervall [0; 2] g(x) º f(x) ist. Wir könnten dieses Problem umgehen, indem wir A 2 als IntegralZwischen[g, f, 0, 2] definieren, oder aber wir berechnen die Gesamtfläche A als A = A 1 + ‡ A 2 ‡ : Das Ergebnis ist in beiden Fällen die Gesamtfläche: ZeitGeschwindigkeitsfunktion Die Beschleunigung (in m/s 2 ) eines PKW t > 0 Sekunden nach dem Start, kann durch die Funktion a mit a(t) = 3,6·0,905 t beschrieben werden. Zum Zeitpunkt t = 0 ist seine Geschwindigkeit 0 m/s. Wir ermitteln die Funktion v, die jedem Zeitpunkt t (in s) die Geschwindigkeit (in m/s) zuordnet. Zunächst geben wir die Funktion a ein: Da wir a(t) geschrieben haben, verwenden wir für die Ermittlung einer Stammfunktion von a den Befehl Integral[ <Funktion> , <Variable> ] und schreiben Integral[a, t]: ¥ Nach der Eingabe von f(0) erhalten wir: ¥ Daher ist die gesuchte Funktion die Funktion v mit v(t) =   18 _ 5  ·  2    181 _ 200   3 t _  ln 2    181 _  200 3 + 36,06 = 3,6·  0,905 t __  ln(0,905) + 36,06. Alternativ können wir in GeoGebra auch einfach eingeben Das Ergebnis ist das gleiche: Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv