Mathematik anwenden HUM 4, Schulbuch

19 Der Differentialquotient als Grenzwert des Differenzenquotienten Den Übergang vom Begriff „Durchschnittsgeschwindigkeit“ zum Begriff „Momentangeschwindig­ keit“ für ZeitWegFunktionen können wir auf beliebige reellwertige Funktionen f übertragen. Wir beschreiben dazu die mittlere Änderungsrate von f auf den Intervallen [a; b] durch die Funktion g mit g(b) = ​  f(b) – f(a) __ b – a  ​und berechnen den Grenzwert von g an der Stelle a, also ​lim   b ¥ a ​  f(b) – f(a) __  b – a  ​ . Diesen Grenzwert bezeichnet man als Differentialquotienten von f an der Stelle a. Ist f eine reellwertige Funktion und existiert der Grenzwert ​ lim    b ¥ a ​  f(b) – f(a) __ b – a  ​  , dann sagt man, dass f an der Stelle a differenzierbar ist. In diesem Fall schreiben wir f’(a) für diesen Grenzwert und nennen f’(a) die lokale oder momentane Änderungsrate oder den Diffe­ rentialquotienten oder die Ableitung von f an der Stelle a. Die Funktion f heißt differenzierbar , wenn sie an jeder Stelle ihres Definitionsbereiches differenzierbar ist. Dann heißt die Funktion f’ , die jeder Zahl a im Definitionsbereich von f den Differentialquotienten f’(a) zuordnet, die Ableitung oder Ableitungsfunktion von f. Die Funktion f differenzieren heißt ihre Ableitung f’ zu berechnen. Die Gerade durch den Punkt A = (a 1 f(a)) des Graphen von f mit der Steigung f’(a) heißt Tangente an den Graphen von f im Punkt A oder kurz Tangente von f an der Stelle a. Unter der Steigung des Graphen einer Funktion f (oder kurz: Steigung der Funktion f) an der Stelle a verstehen wir die Steigung f’(a) der Tangente von f an der Stelle a. 47 Berechne den Differentialquotienten der Funktion f mit f(x) = x 3 zunächst allgemein an der Stelle a als Grenzwert des Differenzenquotienten und dann an der Stelle 4. Wir berechnen zunächst allgemein f’(a). Dabei benutzen wir den Zusammenhang (b 3 – a 3 ) = (b 2 + ab + a 2 )(b – a), den du durch Nachrechnen leicht überprüfen kannst. Dann ist f’(a) = ​lim    b ¥ a ​  ​b​ 3 ​– ​a​ 3 ​ _ b – a  ​= ​lim    b ¥ a ​  (​b​ 2 ​+ ab + ​a​ 2 ​)(b – a) ___  b – a  ​= ​lim  b ¥ a ​(​b​ 2 ​+ ab + ​a​ 2 ​) = (a 2 + a 2 + a 2 ) = 3a 2 . Daher ist f’(4) = 3·4 2 = 48. 48 Berechne den Differentialquotienten der Funktion f mit f(x) = x 4 zunächst allgemein als Grenzwert des Differenzenquotienten an der Stelle a und dann an der Stelle 1. Benutze dazu die Formel (b 4 – a 4 ) = (b 3 + ab 2 + a 2  b + a 3 )(b – a). 49 Berechne den Differentialquotienten der Funktion f mit f(x) = 2x 2 zunächst allgemein als Grenzwert des Differenzenquotienten an der Stelle a und dann an der Stelle 1. 50 Ermittle den Differentialquotienten der Funktion f mit f(x) = ​  1 _ 2 ​x 2 + 2 zunächst allgemein als Grenzwert des Differenzenquotienten an der Stelle a und dann an der Stelle ‒3. 51 Bestimme den Differentialquotienten der Funktion f mit f(x) = ‒ x 2 + 3x – 1 zunächst allgemein als Grenzwert des Differenzenquotienten an der Stelle a und dann an der Stelle 2. 52 Zeichne den Graphen der Funktion f mit f(x) = 0,15x 3 – 0,225x 2 – 0,9x + 0,45 in ein Koordinaten­ system. Gib dann an, an welchen Stellen die Steigung des Funktionsgraphen 0 ist, und zeichne an diesen Stellen die Tangenten ein. An der Stelle, wo der Funktionsgraph die Steigung 0 hat, hat auch seine Tangente die Steigung 0. Die Tangente muss also waagrecht verlaufen. Das ist an den Stellen ‒1 und 2 der Fall. Differential­ quotient lokale Änderungsrate differenzierbar Ableitung f’ Tangente Steigung des Funktions­ graphen den Differential­ quotienten als Grenzwert des Differenzen­ quotienten berechnen B  ggb b5p2qk B , B , B ; B ; B, C im Funktions­ graphen eine Stelle mit Steigung 0 finden x y 0 1 2 1 2 3 1 1 f 1.2 Differenzenquotient und Differentialquotient Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv