Mathematik anwenden HUM 4, Schulbuch

18 41 Der Weg (in Meter), den ein LKW innerhalb von t Sekunden nach dem Start zurücklegt, wird durch die Funktion s mit s(t) = 0,6t 2 beschrieben. a. Berechne die Durchschnittsgeschwindigkeit des LKW im Zeitintervall [10 s; 11 s]. b. Berechne die Momentangeschwindigkeit nach 10 Sekunden. a. Die Durchschnittsgeschwindigkeit im Zeitintervall [10 s; 11 s] ist   s(11) – s(10) __ 11s – 10s  =   72,6m – 60m __ 1s  = 12,6m/s. b. Die Momentangeschwindigkeit nach 10 Sekunden ist lim    x ¥ 10   s(x) – s(10) __ x – 10  = lim  x ¥ 10   0,6x 2 – 60 __ x – 10  = lim  x ¥ 10   0,6(x 2 – 100) __ x – 10  = lim  x ¥ 10 0,6(x + 10)(x – 10) ___  x – 10  = lim  x ¥ 10 0,6(x + 10) = = 0,6(10 + 10) = 12m/s. 42 Ein sportliches Fahrzeug hat t Sekunden nach dem Start s(t) = 3,5t 2 Meter zurückgelegt. Berechne die Momentangeschwindigkeit des Fahrzeuges 5 Sekunden nach dem Start und die Durchschnittsgeschwindigkeit zwischen den Zeitpunkten 5 Sekunden und 5,001 Sekunden. 43 Der von einem gemütlichen Wanderer in 4 Stunden zurückgelegte Weg in km wird durch die Funktion s mit s(t) = ‒   1 _ 2 t 2 + 5t beschrieben, dabei wird die Zeit t in Stunden angegeben. a. Berechne den insgesamt zurückgelegten Weg und die Durchschnittsgeschwindigkeit während dieser 4 Stunden. b. Berechne die Momentangeschwindigkeit (in km/h) des Wanderers nach 1 Stunde, nach 2 Stunden und nach 3 Stunden. c. Zeichne den Graphen der Funktion s über dem Intervall [0; 4] und zeichne die Tangenten in den Punkten (1 1 s(1)), (2 1 s(2)) und (3 1 s(3)) ein. 44 Ein Ball wird senkrecht nach oben geworfen. Die Funktion s mit s(t) = ‒5t 2 + 20t ordnet jedem Zeitpunkt t (in Sekunden) die aktuelle Höhe s(t) des Balls (in Meter) zu. Ermittle die Funktion v, die jedem Zeitpunkt t die Momentangeschwindigkeit des Balls in m/s zuordnet. Es ist v(t) =  lim   x ¥ t   s(x) – s(t) __ x – t  =  lim  x ¥ t   (‒5x 2 + 20x) – (‒5 t 2 + 20t) ____ x – t  =  lim    x ¥ t   ‒5x 2 + 20x – (‒5)t 2 – 20t ____ x – t  =  lim  x ¥ t   ‒5(x 2 – t 2 ) + 20(x – t) ___ x – t  =  lim    x ¥ t 2    ‒5(x 2 – t 2 ) __ x – t  +   20(x – t) __ x – t    3 =  lim  x ¥ t 2    ‒5(x – t)(x + t) __ x – t  +   20(x – t) __ x – t    3 = =  lim    x ¥ t (‒ 5(x + t) + 20) = ‒5(t + t) + 20 = ‒ 5·2t + 20 = ‒10t + 20. Daher ist v(t) = ‒10t + 20. 45 Der von einem Fahrzeug nach t Sekunden zurückgelegte Weg s(t) in Meter wird durch die Funktion s mit s(t) = 3t 2 + 10t beschrieben. Bestimme die Funktion v, die jedem Zeitpunkt t die Momentangeschwindigkeit des Fahrzeuges zuordnet. 46 Eine Rakete legt in t Sekunden den Weg s(t) = 50t 2 + 100t in Metern zurück. a. Ermittle die Funktion v, die jedem Zeitpunkt t die Momentangeschwindigkeit der Rakete in m/s zuordnet. b. Bestimme die Momentangeschwindigkeit der Rakete nach 3 Sekunden in m/s. Momentan geschwindig keit berechnen B , B A, B , eine Momentan geschwindig keitsfunktion aufstellen A, B A , B ; A, B ; tns dn3nj3 Differentialrechnung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv