Mathematik anwenden HUM 4, Schulbuch

17 Momentangeschwindigkeit Ein PKW startet auf einer freien Straße und beschleunigt. Mit einem Blick auf den Tachometer kann man dabei verfolgen, wie sich die Geschwindigkeit des Autos laufend ändert. Bei der angezeigten Geschwindigkeit handelt es sich jetzt nicht mehr um eine Durchschnittsgeschwindigkeit, sondern um die soge nannte Momentangeschwindigkeit des Autos. Können wir diese Momentangeschwindigkeit aus dem ZeitWegDiagramm ablesen? Wir nehmen dazu an, dass der vom PKW während des Beschleunigungsvorganges innerhalb von t Sekunden zurückgelegte Weg in Metern durch die ZeitWegFunktion s mit s(t) = 1,5t 2 beschrieben wird, und wollen die Momentangeschwindigkeit des PKW zum Zeitpunkt t = 1 bestimmen. Wir wissen bereits, dass wir die Durchschnittsgeschwindigkeit in einem Zeitintervall [t 1 ; t 2 ] an der Steigung der Sekante durch die beiden Punkte A = (t 1 1 s(t 1 )) und B = (t 2 1 s(t 2 )) ablesen können. Um die Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt t = 1 zu ermitteln, wählen wir zunächst A = (1 1 s(1)) = (1 1 1,5) und B = (2 1 s(2)) = (2 1 6) und lassen im Folgenden den Punkt B immer näher an den Punkt A heranrücken. Wir erhalten folgende Durchschnittsgeschwindigkeiten: Im Intervall [1 s; 2 s] ist   s(2) – s(1) __ 2s – 1s  =   6m – 1,5m __ 1s  = 4,5m/s, im Intervall [1 s; 1,5 s]   s(1,5) – s(1) __ 1,5s – 1s  =   3,375m – 1,5m __ 0,5s  = 3,75m/s und im Intervall [1 s; 1,1 s]   s(1,1) – s(1) __ 1,1s – 1s  =   1,815m – 1,5m __ 0,1s  = 3,15m/s. Wir können die Durchschnittsgeschwindigkeit im Intervall [1; x] allgemein durch die Funktion f mit f(x) =   s(x) – s(1) __ x – 1  beschreiben. Dann ist die Momentan geschwindigkeit in m/s zum Zeitpunkt t = 1 der Grenzwert von f(x) für x gegen 1:  lim  x ¥ 1   s(x) – s(1) __ x – 1  =  lim  x ¥ 1   1,5x 2 – 1,5 __ x – 1  =  lim  x ¥ 1   1,5(x 2 – 1) __ x – 1  =  lim  x ¥ 1   1,5(x + 1)(x – 1) __ x – 1  =  lim    x ¥ 1 1,5(x + 1) = 1,5·(1 + 1) = 3. Die Momentangeschwindigkeit nach 1 Sekunde beträgt also 3m/s bzw. 10,8 km/h. Im ZeitWegDiagramm nennen wir die Gerade durch den Punkt A = (1 1 1,5) mit der Steigung 3 die Tangente (lateinisch für „die Berührende“) an den Graphen von s im Punkt A. Die Tangente berührt den Graphen von s im Punkt A. Wenn die Funktion s eine ZeitWegFunktion ist, dann nennt man den Grenzwert   lim    x ¥ t   s(x) – s(t) __ x – t  die Momentangeschwindigkeit (oder einfach Geschwindigkeit ) zur Zeit t (in m/s). Wir schreiben dafür v(t) =  lim    x ¥ t   s(x) – s(t) __ x – t  . Die Gerade durch den Punkt (t 1 s(t)) des Graphen von s mit der Steigung v(t) heißt Tangente an den Graphen von s im Punkt (t 1 s(t)). ggb/tns cx5s64 Zeit in s Weg in m 0,2 0 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,1 1,2 3 3,6 4,2 4,8 5,4 6 0 0,6 1,8 2,4 Tangente s A B 3 B 2 B 1 Momentange schwindigkeit Tangente 1.2 Differenzenquotient und Differentialquotient Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv