Mathematik anwenden HUM 4, Schulbuch

164 Bedingte Wahrscheinlichkeiten Beim MonopolySpiel wird mit zwei Spielwürfeln gewürfelt. Max hofft, eine Augensumme von mindestens 8 zu werfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis? In der graphischen Übersicht sind alle 36 möglichen Ausgänge dieses Zufallsexperimentes aufgelistet. Eine Augensumme von mindestens 8 ergibt sich in 15 Fällen. Daher ist die Wahrscheinlichkeit P(Augensumme mindestens 8) =   15 _ 36 ≈ 0,417. Um die Spannung zu steigern, wirft Max seine Würfel allerdings nicht gleichzeitig, sondern hintereinander. Der erste Würfel fällt auf die Zahl 3. Ändert das etwas an der Wahrscheinlichkeit, eine Augensumme von mindestens 8 zu werfen? Ja, denn jetzt gibt es für den zweiten Würfel 6 mögliche Ausgänge, von denen 2 günstig sind (nämlich die Augenzahlen 5 und 6). Die Wahrscheinlichkeit, dass die Augensumme mindestens 8 ist, unter der Bedingung, dass der erste der beiden Würfel 3 Augen anzeigt, ist P(Augensumme mindestens 8 1 erster Würfel zeigt 3) =   2 _ 6 ≈ 0,333. Sind von dem Ausgang eines Zufallsexperimentes schon Informationen bekannt, so nennt man die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses die dadurch bedingte Wahrscheinlichkeit. Mit P(E 1 B) bezeichnen wir die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis E eintritt, wenn bekannt ist, dass das Ereignis B bereits eingetreten ist. Man nennt P(E 1 B) auch die bedingte Wahrscheinlich keit von E unter der Bedingung B . Ist M eine Menge dann schreiben wir |M| für die Anzahl der Elemente von M. Beispiel: Ist M die Menge {2, 3, 8}, dann ist |M| = 3. Wir möchten in einem Laplacemodell die Wahrscheinlichkeit P(E 1 B) berechnen. Da B ja bereits eingetreten ist, ist B die Menge aller möglichen Ausgänge. Die Menge aller günstigen Ausgänge ist der Durchschnitt dieser beiden Mengen E ° B. Die Anzahl der möglichen Fälle ist daher † B † und die Anzahl der günstigen Fälle † E ° B † , also P(E 1 B) =   † E ° B † _ † B †  . Multiplizieren wir Zähler und Nenner dieses Bruchs mit   1 _  † Ω † , so erhalten wir P(E 1 B) =     † E ° B † _ † Ω †  _    † B † _  † Ω † =   P(E ° B) __ P(B)  . P(E ° F) bezeichnet die Wahrscheinlichkeit, dass die Ereignisse E und F gleichzeitig eintreten. Die bedingte Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E unter der Bedingung B in einem Laplace modell ist P(E 1 B) =   † E ° B † _ † B †  =   P(E ° B) __  P(B)  . 579 Ein Würfel wird geworfen. Wir bezeichnen mit A und B die folgenden Ereignisse: A = „die Augenzahl ist ungerade“ B = „die Augenzahl ist höchstens 4“ Beschreibe die bedingte Wahrscheinlichkeit P(A 1 B c ) in Worten und berechne sie. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Augenzahl ungerade ist, wenn bekannt ist, dass diese Augenzahl mindestens 5 (das Gegenereignis zu „höchstens 4“) ist. Es ist P(A 1 B c ) =   † A ° B c † _ † B c †  =   |  { 1, 3, 5 } ° { 5, 6 }   | ___  |  { 5, 6 }   |   =   |  { 5 }   | _  |  { 5, 6 }   |   =   1 _  2 . bedingte Wahr scheinlichkeit Anzahl der Elemente einer Menge P(E ° F) bedingte Wahrscheinlich keit in einem Laplacemodell bedingte Wahr scheinlichkeit berechnen A, B Wahrscheinlichkeitsrechnung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv