Mathematik anwenden HUM 4, Schulbuch

149 Zusammenfassung Eine differenzierbare Funktion F heißt Stammfunktion einer Funktion f, wenn f die Ableitung von F ist, also F’ = f ist. Ist F eine Stammfunktion der Funktion f, so schreibt man dafür häufig F = :    f(x) dx (sprich: „F ist das Integral f(x) dx“). Beispiele für Stammfunktionen: Funktion f Stammfunktion F = :    f(x)dx f(x) = k (k * R) F(x) = k·x + c f(x) = x n (n * Q ; n ≠ ‒1) F(x)=   1 _  n + 1 x n + 1 + c f(x) =   1 _ x F(x)= ln( † x † ) + c f(x) = e x F(x)= e x + c f(x) = a x F(x)=   a x _  ln(a) + c f(x) = ln(x) (x > 0) F(x)= x·ln(x) – x + c Für jede Funktion f: [a; b] ¥ R , die eine Stammfunktion F hat, nennen wir F(b) – F(a) das bestimmte Integral von f über dem Intervall [a; b] und schreiben dafür :  a   b f(t) dt= F(b) – F(a) (sprich: Integral von a bis b f(t) dt) oder :  a   b f(t) dt= F(t)  1 a   b . Wenn zusätzlich f º 0 ist, ist der Inhalt der Fläche zwischen den Intervall [a; b] und dem Graphen von f gleich :  a   b f(t) dt= F(b) – F(a) . Fläche zwischen Funktionsgraph und xAchse f hat in (a; b) keine Nullstelle f hat in (a; b) eine Nullstelle n A = |  :  a   b f(x) dx  | A = |  :  a   n f(x) dx  | + |  :  n   b f(x) dx  | Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen Kein Schnittpunkt über (a; b) Schnittpunkt S = (s 1 f(s)) über (a; b) A = |  :  a   b (f(x) – g(x)) dx  | A = |  :  a   s (f(x) – g(x)) dx  | + |  :  s   b (f(x) – g(x)) dx  | Stamm funktionen unbestimmtes Integral als Fläche A y x b a f A 1 A 2 y x b n a f A y x b a f g A 1 A 2 y x b a s f g S Zusammenfassung: Integralrechnung Nur zu P üfzwecken – Eigentum des Verlags öbv