Mathematik anwenden HUM 4, Schulbuch

147 521 Der kontinuierliche Zahlungsstrom R in 1 000€/h eines OnlineShops wird durch die Funktion R mit R(t) = 0,00365t 4 – 0,2436t 3 + 4,495t 2 – 18,06t + 40 beschrieben. Dabei steht t für die Anzahl der Stunden nach Mitternacht (0 ª t ª 24). a. Berechne den Gesamtumsatz dieses OnlineShops innerhalb eines Tages (24 Stunden). b. Zeichne den Graphen dieses kontinuierlichen Zahlungsstroms und lies in diesem Graphen ab, zu welchem Zeitpunkt der Umsatz am stärksten und zu welchem Zeitpunkt er am schwächsten anwächst. 522 Die Geldflüsse eines OnlineShops an einem bestimmten Tag können mithilfe des kontinuierli­ chen Zahlungsstroms R mit R(t) = 8t 4 – 442t 3 + 7365t 2 – 32760t (in €/h) beschrieben werden. Dabei steht t für die Anzahl der Stunden nach Mitternacht (0 ª t ª 24). a. Berechne den Gesamtumsatz dieses OnlineShops innerhalb eines Tages (24 Stunden). b. Zeichne den Graphen dieses kontinuierlichen Zahlungsstroms und lies aus diesem Graphen ab, innerhalb welchen Zeitraums die Ausgaben des Shops größer sind als die Einnahmen. c. Berechne, um wie viel Euro die Ausgaben in dem in Aufgabe b. berechneten Zeitraum größer sind als die Einnahmen. 523 Der kontinuierliche Zahlungsstrom an den Kassen eines Supermarktes, der 12 Stunden pro Tag geöffnet hat, kann durch die Funktion R modelliert werden, die jedem Zeitpunkt t * [0; 12] in Stunden den kontinuierlichen Zahlungsstrom R(t) = ‒100t 2 + 1 200t in €/h zuordnet. a. Berechne den aktuellen Zahlungsstrom zum Zeitpunkt t = 4h. b. Ermittle, zu welchem Zeitpunkt der Zahlungsstrom seinen maximalen Wert annimmt, und gib den maximalen Zahlungsstrom in €/h an. c. Berechne den Gesamtumsatz während der zwölfstündigen Öffnungszeit. d. Ermittle den Gesamtumsatz innerhalb der ersten 90min. 524 Ein durch den kontinuierlichen Zahlungsstrom R mit a. R(t) = 10000€/Jahr  b. R(t) = 10000 + 500t€/Jahr beschriebenes Kapital wird 5 Jahre lang zum stetigen Zinssatz ​ j​ • ​ = 3% angelegt. Berechne den Barwert und den Endwert. a. Wir berechnen die Integrale jeweils mit Technologieeinsatz und erhalten B = ​ :  0 ​  5 ​ 10000e ‒0,03t  dt​= 46430,68€ und E = e 0,03·5 ·46430,68 = 53944,75€. b. B = ​ :  0 ​  5 ​ (10000 + 500t)e ‒0,03t  dt​= 52089,46€ und E = e 0,03·5 ·52089,46 = 60519,32€ 525 Ein durch den kontinuierlichen Zahlungsstrom R mit a. R(t) = 120000 (in €/Jahr)  b. 5000 + 1 000t (in €/Jahr) beschriebenes Kapital wird 10 Jahre lang zum stetigen Zinssatz ​ j​ • ​ = 2,5% angelegt. Berechne Barwert und Endwert. 526 Eine Hausverwaltung bildet Rücklagen für zukünftige Investitionen. Diese Rücklagen können durch den kontinuierlichen Zahlungsstrom R mit R(t) = 80000€/Jahr beschrieben werden, die zu einem Jahreszinssatz von 2,75% p.a. veranlagt werden. a. Ermittle den äquivalenten stetigen Zinssatz. b. Nach 7,5 Jahren wird die erste Investition fällig. Berechne, welches Kapital bis zu diesem Zeitpunkt angespart wurde. 527 Ein Kredit wird bei einem stetigen Zinssatz von ​j​ • ​ = 5,85% innerhalb von 15 Jahren durch Zahlungen mit Zahlungsstrom R mit R(t) = 10000 + 100t 2 (in €/Jahr) getilgt. a. Berechne die insgesamt für die Tilgung des Kredits verwendete Geldmenge. b. Ermittle die Höhe des aufgenommenen Kredits mithilfe des Barwerts des Zahlungsstroms. 528 Eine Firma erwartet sich für eine Investition von 500000€ innerhalb der nächsten 10 Jahre Rück­ flüsse, die sich durch den kontinuierlichen Zahlungsstrom R mit R(t) = 50000 + 20000t (in €/Jahr) beschreiben lassen. Berechne den Kapitalwert dieser Investition bei einem stetigen Kalkulationszinssatz ​j​ • ​ = 3%. B, C , B, C , , A, B  ggb/tns t9a5jh A, B den Barwert und den Endwert eines kontinuier­ lichen Zahlungsstroms berechnen , B , B , B , A, B 4.3 Wirtschaftliche Anwendungen der Integralrechnung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv