Mathematik anwenden HUM 4, Schulbuch

146 Kontinuierliche Zahlungsströme Im letzten Jahr haben wir gelernt, den Endwert und den Barwert von Renten zu berechnen. Wir haben dabei aber immer angenommen, dass die betrachteten Zahlungen alle gleich sind und zu regelmäßigen, fest vorgegebenen Zeitpunkten erfolgen (zum Beispiel vorschüssige Monatsrenten, nachschüssige Quartalsrenten usw.). Großbanken haben in der Regel mit sehr vielen Einund Auszahlungen zu kalkulieren, die zu jeder Tageszeit auftreten. Es ist daher sinnvoll, von kontinuierlichen Zahlungsströmen zu sprechen. Wie kann man sich einen kontinuierlichen Zahlungsstrom vorstellen? Die bei einer Bank eintreffende Geldmenge schwankt innerhalb eines Tages beträchtlich. Vielleicht ist es deshalb besser anzugeben, wie viel Euro pro Stunde, pro Minute oder vielleicht sogar pro Sekunde bei der Bank eintreffen. Wir beschreiben mit einem kontinuierlichen Zahlungs strom nicht die tatsächliche Geldmenge, die zu einem Zeitpunkt eintrifft, sondern die momentane Änderungsrate der gesamten Geldmenge. Vielleicht fallen dir in diesem Zusammenhang die mittlere Geschwindigkeit und die Momentangeschwindigkeit ein. Ein Zahlungs strom entspricht der „Geschwindigkeit, mit der das Geld eintrifft“. Ebenso, wie man mittels Integral von der Geschwindigkeit auf den insgesamt zurückgelegten Weg kommt, kann man durch Integrieren des Zahlungsstroms auf die insgesamt erhaltene Geldmenge schließen: Ein kontinuierlicher Zahlungsstrom ist eine Funktion R von einem Zeitintervall nach R , die jedem Zeitpunkt die momentane Änderungsrate der gesamten Geldmenge in Geldeinheiten pro Zeit einheit (zum Beispiel Euro/Jahr) zuordnet. Die Differenz der Geldmenge zum Zeitpunkt t 2 und zum (früheren) Zeitpunkt t 1 (das „ im Zeit intervall [t 1 ; t 2 ] zugeflossene Kapital “) ist dann :  t 1   t 2 R(t) dt . Im Vorjahr haben wir neben der jährlichen, halbjährlichen, vierteljährlichen und monatlichen Ver zinsung auch die stetige Verzinsung eines Kapitals kennengelernt. Beschreibt man das in einem Zeitintervall zugeflossene Kapital durch einen kontinuierlichen Zahlungsstrom, werden dessen Zinsen mit der stetigen Verzinsung beschrieben. Wird ein Kapital K 0 zu einem Jahreszinssatz i verzinst, so ist der zu i äquivalente stetige Zinssatz j • = ln(1 + i) . Bei stetiger Verzinsung mit einem stetigen Zinssatz j • ist das Endkapital nach t Jahren K 0 ·e j • ·t GE . Wird ein im Zeitintervall [0; T ] zufließendes Kapital durch den kontinuierlichen Zahlungsstrom R beschrieben und mit dem stetigen Zinssatz j • verzinst, so ist der Barwert B zum Zeitpunkt 0 und der Endwert E zum Zeitpunkt T B = :  0   T R(t)·e ‒j • ·t dt und E = B·e j • ·T . 520 Der kontinuierliche Zahlungsstrom R in €/h einer Bankfiliale zum Zeitpunkt t ist durch R(t) = ‒ 2t 4 + 94t 3 – 1 364t 2 + 6240t + 24000 gegeben. Dabei steht t für die Anzahl der Stunden nach Mitternacht. Berechne den Gesamtumsatz dieser Bankfiliale zwischen 8 Uhr und 16 Uhr. Die Geldmenge ergibt sich aus dem Integral   :  8   16     (‒ 2 t 4 + 94 t 3 – 1 364 t 2 + 6240t + 24000) dt= ‒ 0,4 t 5 + 23,5 t 4 –   1364 _ 3  t 3 + 3120 t 2 + 24000t  1 8   16 = 441 070,93 – 242039,47 = 199031,46€. kontinuierlicher Zahlungsstrom das im Zeitintervall [t 1 ; t 2 ] zugeflossene Kapital stetige Verzinsung B das Kapital aus einem Zahlungsstrom berechnen Integralrechnung Nur zu Prüfzweck n – Eigentum des Verlags öbv