Mathematik anwenden HUM 4, Schulbuch

144 Eine ähnliche Überlegung können wir auch aus der Sicht der Käufer anstellen: Aufgrund der Nachfrage funktion wissen wir, dass sich für die erste Mütze ein Käufer gefunden hätte, der bereit gewesen wäre, für diese p N (1) = 22,50€ zu bezahlen. Für die zweite Mütze hätte es einen Käufer gegeben, der dafür p N (2) = 22€ bezahlt hätte. Erst bei der 24. Mütze hätten die Konsumenten nur noch den Gleichgewichtspreis von 11€ bezahlt. Die Konsumenten hätten also für Lisas Mützen insgesamt 22,5€ + 22€ + … + 11€ = 402€ bezahlt. Den Betrag, den sie sich gespart haben, indem sie alle 24 Mützen zum Gleichgewichstpreis von 11€ kaufen konnten, bezeichnet man als die Konsumentenrente . Sie entspricht der Fläche zwischen den Graphen von p A und der konstanten Funktion p = 11 über dem Intervall [0; 24]. In diesem Fall beträgt die Konsumenten rente 402€ – 264€ = 138€. Die individuelle Konsumentenrente ist die Differenz zwischen dem Preis, den ein Konsument für eine Ware zu zahlen bereit gewesen wäre, und dem tatsächlichen Kaufpreis. Die Summe der individuellen Konsumentenrenten aller Käufer (Konsumenten) einer Ware heißt Konsumentenrente . Wurden aME der Ware zum Preis p = p N (a) verkauft, dann kann die Konsu mentenrente näherungsweise durch :  0   a (p N (x) – p) dx berechnet werden. 512 Von einem Produkt sind die Preisfunktionen des Angebots und der Nachfrage p A und p N mit p A (x) = 0,02x 2 + 0,26x + 6,9 und p N (x) = ‒ 0,015x 2 – 0,16x + 29,3 bekannt. Berechne die Konsumentenund Produzentenrente im Marktgleichgewicht und stelle die zugehörigen Flächen in einem Koordinatensystem dar. Das Marktgleichgewicht erhalten wir aus der Lösung der Gleichung 0,02x 2 + 0,26x + 6,9 = ‒ 0,015x 2 – 0,16x + 29,3. Wir erhalten x = ‒ 32 und x = 20. Es kommt nur die positive Lösung in Frage. Der Gleichgewichtspreis ist demnach p N (20) = p A (20) = 20,1GE/ME. Die Konsumentenrente ist   :  0   20   ((‒ 0,015x 2 – 0,16x + 29,3) – 20,1) dx= = ‒ 0,005x 3 – 0,08x 2 + 29,3x – 20,1x  1 0   20 = 112GE. Die Produzentenrente ist   :  0   20   (20,1 – (0,02x 2 + 0,26x + 6,9)) dx= = 20,1x – 2    1 _  150 x 3 + 0,13x 2 + 6,9x  3   1 0   20 = 158,67GE. 513 Zu einem bestimmten Produkt kennt man die Preisfunktionen des Angebots und der Nachfrage p A und p N mit p A (x) = 0,02x 2 + 0,1x + 5 und p N (x) = ‒ 0,01x 2 – 0,2x + 23. Berechne die Konsumen tenund Produzentenrente im Marktgleichgewicht und stelle die zugehörigen Flächen in einem Koordinatensystem dar. 514 Medina kauft am Flohmarkt um 12€ ein Schaukelpferd für ihre Schwester. Sie wäre insgeheim bereit gewesen, bis zu 15€ dafür zu zahlen. Der Verkäufer hätte das Schaukelpferd notfalls auch um 10€ verkauft. Erläutere anhand dieses Beispiels die Begriffe „individuelle Konsumenten rente“ und „individuelle Produzentenrente“ und berechne sie. Produzenten rente Konsumentenrente Anzahl der Mützen Preis in € 0 5 10 15 20 25 20 16 24 28 32 12 8 4 0 p N p A Marktgleichgewicht (24 1 11) individuelle Konsumenten rente Konsumenten rente ggb/tns h5c9hj Konsumenten und Produzenten rente im Markt gleichgewicht berechnen A, B Produzenten rente Konsumenten rente x y 0 5 10 15 20 25 5 10 15 20 25 30 p N p A MG B , B, C , Integralrechnung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv