Mathematik anwenden HUM 4, Schulbuch

14 Mittlere Änderungsrate und Differenzenquotient Den Begriff Durchschnittsgeschwindigkeit einer ZeitWegFunktion können wir auf beliebige reellwertige Funktionen übertragen. Die Durchschnittsgeschwindigkeit ist der Quotient des zurückgelegten Weges und der vergangenen Zeit: ​  s(​t​ 2 ​) – s(​t​ 1 ​) __ ​t​ 2 ​– ​t​ 1 ​  ​ Allgemein definieren wir: Eine Funktion, deren Funktionswerte reelle Zahlen sind, nennt man reellwertig . Ist f eine reellwertige Funktion, deren Definitionsbereich das Intervall [a; b] enthält, so bezeichnen wir den Quotienten der Differenz der Funktionswerte und der Differenz der Argumente ​  f(b) – f(a) __ b – a  ​ als Differenzenquotient von f über dem Intervall [a; b] bzw. als mittlere Änderungsrate der Funktion f im Intervall [a; b]. Geometrisch gesehen ist der Differenzenquotient die Steigung der Sekante des Graphen von f durch die Punkte (a 1 f(a)) und (b 1 f(b)). 28 Herr Loibl notiert jedes Mal, wenn er sein Auto auftankt, den aktuellen Benzinpreis. a. Berechne jeweils die mittlere Änderungsrate des Benzinpreises im Zeitraum vom 3. März bis zum 28. März und im Zeitraum vom 28. März bis zum 19. April. b. Interpretiere deine Ergebnisse. a. Vom 3. März bis zum 28. März sind 25 Tage vergangen. Die mittlere Änderungsrate in diesem Zeitraum ist daher ​  1,149€ – 1,105€ ___  25 Tage  ​= ​  0,044€ _  25 Tage ​= 0,00176€/Tag. Vom 28. März bis zum 19. April sind 22 Tage vergangen. Die mittlere Änderungsrate in diesem Zeitraum ist daher ​  1,135€ – 1,149€ ___  22 Tage  ​= ​  ‒0,014€ __  22 Tage  ​≈ ‒ 0,00064€/Tag. b. Im Zeitraum vom 3. März bis zum 28. März ist der Preis für 1 Liter Benzin durchschnittlich um 0,176 Cent pro Tag gestiegen, im Zeitraum vom 28. März bis zum 19. April ist Preis für 1 Liter Benzin um durchschnittlich 0,064 Cent pro Tag gefallen. 29 Frau Herzog ist Immobilienmaklerin und beobachtet die durchschnittlichen Quadratmeterpreise für Eigentumswohnungen in ihrer Heimatgemeinde. Ein Ausschnitt ihrer Aufzeichnungen ist in der Tabelle abgebildet. a. Berechne jeweils die mittlere Änderungsrate des Quadrat­ meterpreises im Zeitraum vom 5. April bis zum 15. Mai und im Zeitraum vom 15. April bis zum 14. Juni. b. Interpretiere deine Ergebnisse. 30 Samuel hat die Preise für eine Jugendkinokarte in den vergangenen Jahren notiert. a. Berechne die mittlere Änderungsrate des Preises einer Kinokarte für den Zeitraum 2002 bis 2010 und den Zeitraum 2010 bis 2016. b. Interpretiere die Ergebnisse im Sachzusammenhang. Differenzen­ quotient mittlere Änderungsrate x y Sekante f a b f(a) f(b) b – a f(b) – f(a) B = (b 1 f(b)) A = (a 1 f(a)) Tag Preis für 1 Liter Benzin in € 3. März 1,105 28. März 1,149 19. April 1,135 mittlere Änderungsrate berechnen und interpretieren B, C B, C , Tag Quadratmeter­ preis in € 5. April 2910 15. Mai 2770 14. Juni 2812 B, C , Jahr Preis in € 2002 5,8 2010 7,3 2016 8,7 Differentialrechnung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv